1. Uma formiga, situada no ponto P=(1,2) quer se deslocar no plano x y na expectativa de se aquecer o mais rápido possível. Sabendo que a temperatura no ponto (x, y) é f(x, y)= x^{3}-x y^{2}+5 y, dê um versor que indique a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga. (Resp: \vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) )

Passo 1

O enunciado dá:
  • Ponto inicial da formiga: P=(1,2).
  • Campo escalar de temperatura: f(x,y)=x^{3}-x y^{2}+5 y.
    O que se pede:
  • Um versor (vetor unitário) que indique a direção e o sentido do deslocamento em que a formiga aumenta a temperatura o mais rápido possível.

Passo 2

Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • A temperatura é uma função escalar f(x,y). Em cada ponto do plano existe um vetor chamado gradiente, \nabla f(x,y), que aponta na direção de maior crescimento instantâneo de f.
  • O coeficiente que mede a taxa de variação de f ao mover-se numa direção unitária \vec{u} é a derivada direcional:
D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u},
onde \cdot é o produto escalar. Aqui:
  • \nabla f(x,y) é o vetor gradiente em (x,y).
  • \vec{u} é um vetor unitário (versor) que indica a direção do deslocamento.
  • Pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz, para \|\vec{u}\|=1 vale
\bigl|\nabla f(x,y)\cdot\vec{u}\bigr|\le \|\nabla f(x,y)\|.
A igualdade é atingida quando \vec{u} é paralelo a \nabla f(x,y). Portanto, o aumento máximo (sentido favorável para aquecer) ocorre quando \vec{u} tem a mesma direção e sentido do gradiente; o versor desejado é o gradiente normalizado (dividido pela sua norma).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f para obter o gradiente.
  • Derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5y\bigr).
  • Computando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2} (pois y é tratado como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(5y)=0.
  • Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-y^{2}.
  • Derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5y\bigr).
  • Computando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2xy.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(5y)=5.
  • Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2xy+5.
  • Portanto o gradiente é
\boxed{\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}-y^{2},\;-2xy+5\bigr).}

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,2).
  • Calcular cada componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=3\cdot1^{2}-2^{2}=3-4=-1,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=-2\cdot1\cdot2+5=-4+5=1.
  • Logo
\nabla f(1,2)=(-1,\,1).

Passo 5

Obter o versor na direção do gradiente (normalizar \nabla f(1,2)).
  • Norma do gradiente:
\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Versor na mesma direção e sentido de \nabla f(1,2):
\vec{u}=\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|}=\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Escrevendo de forma habitual:
\vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo:
  • Esse versor aponta exatamente na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de P. Se a formiga seguir esse sentido, ela terá a maior taxa instantânea de aquecimento.
  • Se a formiga quisesse esfriar o mais rápido possível, bastaria pegar o versor oposto \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
    Você mandou bem procurando a solução passo a passo — siga essa receita em outras questões parecidas!

Resposta

\vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

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