Uma formiga, situada no ponto P=(1,2) quer se deslocar no plano x y na expectativa de se aquecer o mais rápido possível. Sabendo que a temperatura no ponto (x, y) é f(x, y)= x^{3}-x y^{2}+5 y, dê um versor que indique a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga. (Resp: \vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) )
Passo 1
O enunciado dá:
Ponto inicial da formiga: P=(1,2).
Campo escalar de temperatura: f(x,y)=x^{3}-x y^{2}+5 y.
O que se pede:
Um versor (vetor unitário) que indique a direção e o sentido do deslocamento em que a formiga aumenta a temperatura o mais rápido possível.
Passo 2
Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
A temperatura é uma função escalar f(x,y). Em cada ponto do plano existe um vetor chamado gradiente, \nabla f(x,y), que aponta na direção de maior crescimento instantâneo de f.
O coeficiente que mede a taxa de variação de f ao mover-se numa direção unitária \vec{u} é a derivada direcional:
D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u},
onde \cdot é o produto escalar. Aqui:
\nabla f(x,y) é o vetor gradiente em (x,y).
\vec{u} é um vetor unitário (versor) que indica a direção do deslocamento.
Pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz, para \|\vec{u}\|=1 vale
A igualdade é atingida quando \vec{u} é paralelo a \nabla f(x,y). Portanto, o aumento máximo (sentido favorável para aquecer) ocorre quando \vec{u} tem a mesma direção e sentido do gradiente; o versor desejado é o gradiente normalizado (dividido pela sua norma).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f para obter o gradiente.
Esse versor aponta exatamente na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de P. Se a formiga seguir esse sentido, ela terá a maior taxa instantânea de aquecimento.
Se a formiga quisesse esfriar o mais rápido possível, bastaria pegar o versor oposto \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
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