Achar as derivadas parciais das funções:
u=(x y)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de
u = (x\,y)^{2}.
O conteúdo usado será a definição de derivada parcial e as regras usuais de diferenciação (produto e potência).

Passo 2

Primeiro, é conveniente reescrever u de forma explícita em x e y:
u = (x\,y)^{2} = x^{2}\,y^{2}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Usando que a derivada de x^{2} é 2x, temos
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\,y^{2}\bigr) = y^{2}\,\frac{d}{dx}(x^{2}) = y^{2}\cdot 2x = 2x\,y^{2}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}, agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Usando que a derivada de y^{2} é 2y, obtemos
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\,y^{2}\bigr) = x^{2}\,\frac{d}{dy}(y^{2}) = x^{2}\cdot 2y = 2\,x^{2}\,y.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x} = 2\,x\,y^{2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2\,x^{2}\,y.

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