Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = \frac{x - y}{x + y},
ou seja, \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que, se f = \frac{u}{v}, então
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{v\,\frac{\partial u}{\partial t} - u\,\frac{\partial v}{\partial t}}{v^2}.

Passo 2

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Aqui
u(x,y)=x-y,\quad v(x,y)=x+y,
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\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial v}{\partial x} = 1.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x+y)\cdot 1 - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2} = \frac{x+y - x + y}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}. Agora
\frac{\partial u}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = 1.
De novo pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x+y)\cdot (-1) - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2} = \frac{-x - y - x + y}{(x+y)^2} = -\frac{2x}{(x+y)^2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2y}{(x+y)^2} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x}{(x+y)^2}

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