Determinar o valor da expressão:
E=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)+\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)
supondo que:
f(x, y)=\sqrt{x y+\frac{x}{y}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
E=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)+\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)
para a função
f(x,y)=\sqrt{x\,y+\frac{x}{y}}.
O conteúdo envolve derivadas parciais e uso da regra da cadeia. Vamos primeiro encontrar formas gerais de \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, e depois avaliar em (x,y)=(1,2).

Passo 2

Reescrevendo f como potência, temos
f(x,y)=\bigl(xy + x/y\bigr)^{1/2}.
Para aplicar a regra da cadeia, defina u(x,y)=xy + x/y. Então
f(x,y)=u(x,y)^{1/2},
e
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}\,u(x,y)^{-1/2}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2}\,u(x,y)^{-1/2}\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calcule \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y}.
Como
u(x,y)=xy + \frac{x}{y},
\frac{\partial u}{\partial x} =y + \frac{1}{y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =x - \frac{x}{y^2}.

Passo 4

Agora escreva as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\Bigl(y+\frac{1}{y}\Bigr), \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\Bigl(x-\frac{x}{y^2}\Bigr).

Passo 5

Avalie em (x,y)=(1,2). Primeiro
u(1,2)=1\cdot2 + \frac{1}{2}=2 + \tfrac12=\frac{5}{2}, \quad \sqrt{u(1,2)}=\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =\frac{1}{2\sqrt{5/2}}\Bigl(2+\tfrac12\Bigr) =\frac{1}{2\sqrt{5/2}}\cdot\frac{5}{2} =\frac{5}{4\sqrt{5/2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) =\frac{1}{2\sqrt{5/2}}\Bigl(1-\tfrac{1}{4}\Bigr) =\frac{1}{2\sqrt{5/2}}\cdot\frac{3}{4} =\frac{3}{8\sqrt{5/2}}.

Passo 6

Some as duas parcelas:
E =\frac{5}{4\sqrt{5/2}}+\frac{3}{8\sqrt{5/2}} =\frac{10}{8\sqrt{5/2}}+\frac{3}{8\sqrt{5/2}} =\frac{13}{8\sqrt{5/2}}.
Como \sqrt{\tfrac{5}{2}}=\tfrac{\sqrt{10}}{2}, temos
\frac{1}{\sqrt{5/2}}=\frac{2}{\sqrt{10}},
então
E =\frac{13}{8}\cdot\frac{2}{\sqrt{10}} =\frac{13}{4\sqrt{10}}.

Resposta

E=\frac{13}{4\sqrt{10}}.

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