Encontre y(k)\) para as seguintes equações a diferença: \(y(k)+y(k-2)= \begin{cases}\text { senk }, & k \geq 0 \\\\ 0, & k<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a equação a diferenças causal
y(k)+y(k-2)=f(k),
onde
f(k)= \begin{cases} \sin(k),&k\ge0,\\\\ 0,&k<0, \end{cases}
e pede y(k) supondo condições iniciais nulas em k<0. Vamos usar o método da resposta ao impulso e convolução.

Passo 2

Para encontrar a resposta ao impulso h(k), resolvemos
h(k)+h(k-2)=\delta(k),
com h(k)=0 para k<0.
Em k=0: h(0)+h(-2)=1 h(0)=1.
Em k=1: h(1)+h(-1)=0 h(1)=0.
Para k\ge2:
h(k)=-\,h(k-2).
Dessa forma conclui-se
h(2m)=(-1)^m,\quad h(2m+1)=0,\quad m=0,1,2,\dots

Passo 3

A solução particular é a convolução causal
y(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h(k-n)\,f(n) =\sum_{n=0}^{k}h(k-n)\,\sin(n),
pois f(n)=0 para n<0.

Passo 4

Na soma acima só contribuem termos k-n=2l (par). Definindo l=(k-n)/2 temos n=k-2l e l=0,1,\dots,\lfloor k/2\rfloor. Como h(2l)=(-1)^l,
y(k) =\sum_{l=0}^{\lfloor k/2\rfloor}h(2l)\,\sin(k-2l) =\sum_{l=0}^{\lfloor k/2\rfloor}(-1)^l\sin\bigl(k-2l\bigr).

Passo 5

Portanto, a solução completa, respeitando a causalidade, é
y(k)= \begin{cases} \displaystyle \sum_{l=0}^{\lfloor k/2\rfloor}(-1)^l\sin\bigl(k-2l\bigr),&k\ge0,\\\\ 0,&k<0. \end{cases}

Resposta

y(k)= \begin{cases} \displaystyle \sum_{l=0}^{\lfloor k/2\rfloor}(-1)^l\sin\bigl(k-2l\bigr),&k\ge0,\\\\ 0,&k<0. \end{cases}

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