Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
y(k)-\frac{5}{2} y(k-1)+y(k-2)=\left\{\begin{array}{l}1, k \geq 2 \\\\ 0, k<2\end{array}\right., condições iniciais \Rightarrow y(0)=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de diferenças não‐homogênea
y(k)-\tfrac{5}{2}\,y(k-1)+y(k-2)= \begin{cases} 1, & k\ge2,\\\\ 0, & k<2, \end{cases}
com condições iniciais y(0)=0 e y(1)=0.
O conteúdo é: resolver recurrences lineares de segunda ordem com termo constante para k\ge2.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da parte homogênea
y_h(k)-\tfrac{5}{2}\,y_h(k-1)+y_h(k-2)=0.
A equação característica é
r^2-\tfrac{5}{2}r+1=0,
cujos coeficientes dão as raízes
r=\frac{\tfrac{5}{2}\pm\sqrt{\tfrac{25}{4}-4}}{2} =\frac{\tfrac{5}{2}\pm\tfrac{3}{2}}{2},
isto é r_1=2 e r_2=\tfrac12.
Logo
y_h(k)=C_1\,2^k + C_2\bigl(\tfrac12\bigr)^k.

Passo 3

Para k\ge2 o termo não‐homogêneo é constante igual a 1. Buscamos uma solução particular constante y_p(k)=A. Substituindo na equação:
A-\tfrac{5}{2}A+A =A\bigl(1-\tfrac{5}{2}+1\bigr) =A\bigl(-\tfrac12\bigr) =1 \quad\Longrightarrow\quad A=-2.

Passo 4

Então, para k\ge2, a solução geral é
y(k)=C_1\,2^k + C_2\bigl(\tfrac12\bigr)^k \;-\;2.

Passo 5

Precisamos determinar C_1 e C_2. Usamos a recursão em k=2 e k=3, sabendo que y(0)=0 e y(1)=0:
em k=2:
y(2)-\tfrac{5}{2}y(1)+y(0)=1 \quad\Longrightarrow\quad y(2)=1.
em k=3:
y(3)-\tfrac{5}{2}y(2)+y(1)=1 \quad\Longrightarrow\quad y(3)=1+\tfrac{5}{2}\cdot1= \tfrac{7}{2}.

Passo 6

Aplicando k=2 e k=3 na forma geral:
para k=2:
C_1\,2^2 + C_2\bigl(\tfrac12\bigr)^2 -2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4C_1 + \tfrac{1}{4}C_2 =3 \;\;\bigl(\times4:\;16C_1+C_2=12\bigr).
para k=3:
C_1\,2^3 + C_2\bigl(\tfrac12\bigr)^3 -2 = \tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad 8C_1 + \tfrac{1}{8}C_2 = \tfrac{11}{2} \;\;\bigl(\times8:\;64C_1+C_2=44\bigr).
Subtraindo as duas equações:
48C_1 =32 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\tfrac{2}{3},
e então
C_2=12-16C_1 =12-\tfrac{32}{3}=\tfrac{4}{3}.

Passo 7

Portanto, a solução completa é
para k=0,1:
y(0)=0,\qquad y(1)=0,
e para k\ge2:
y(k) =\tfrac{2}{3}\,2^k + \tfrac{4}{3}\bigl(\tfrac12\bigr)^k \;-\;2 =\frac{2^{k+1}+2^{2-k}-6}{3}.

Resposta

y(0)=0,\;y(1)=0, e para k\ge2
y(k)=\frac{2^{k+1}+2^{2-k}-6}{3}.

Exercícios relacionados