Encontre
para as seguintes equações a diferença:
, condições iniciais
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de diferenças não‐homogênea
com condições iniciais
e
.
O conteúdo é: resolver recurrences lineares de segunda ordem com termo constante para .
O conteúdo é: resolver recurrences lineares de segunda ordem com termo constante para
Passo 2
Primeiro achamos a solução da parte homogênea
A equação característica é
cujos coeficientes dão as raízes
isto é
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Para
o termo não‐homogêneo é constante igual a 1. Buscamos uma solução particular constante
. Substituindo na equação:
Passo 4
Então, para
, a solução geral é
Passo 5
Precisamos determinar
e
. Usamos a recursão em
e
, sabendo que
e
:
em :
em
em
:
Passo 6
Aplicando
e
na forma geral:
para :
para
para
:
Subtraindo as duas equações:
e então
Passo 7
Portanto, a solução completa é
para :
para
e para
: