Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de
f(x,y)=\sqrt{x^{2}-y^{2}}
Este é um problema de diferenciação parcial em duas variáveis, em que vamos usar a regra da cadeia e a derivada de uma raiz quadrada. Note que a função faz sentido quando x^{2}-y^{2}>0.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma de potência para aplicar a regra da cadeia com mais clareza:
f(x,y) = (x^{2}-y^{2})^{\tfrac12}.
Para cada derivada parcial, trataremos uma variável como a variável de diferenciação e a outra como constante. A derivada de u^{1/2} em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,u^{-1/2},
depois multiplicamos pela derivada interna de u=x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
definimos u=x^{2}-y^{2}. Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}) =\tfrac12\,u^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
ainda com u=x^{2}-y^{2}, temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) =\tfrac12\,u^{-1/2}\cdot(-2y) =-\frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.

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