Determinar \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right), supondo que: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O conteúdo principal é derivada parcial e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro encontramos
\frac{\partial r}{\partial x}\quad\text{com}\quad r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
Pela regra do poder e da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{r}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(1/r).
Como 1/r=r^{-1}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{-1}\bigr) =-1\cdot r^{-2}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} =-r^{-2}\cdot\frac{x}{r}.

Passo 4

Simplificando a expressão:
-r^{-2}\cdot\frac{x}{r} =-\frac{x}{r^{3}}.

Resposta

\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) =-\frac{x}{r^{3}}.

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