Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
llcx & = & arctg t y & = & ln (1+t^2)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo \r
Temos as curvas paramétricas \r
x=arctan t e y=lnl(1+t^2r). \r
Queremos obter a primeira derivada dydx e a segunda d^2ydx^2 usando regras de derivação e a regra da cadeia para variáveis paramétricas.

Passo 2

Derivadas em relação a t \r
Calculamos \r
dxdt=ddtl(arctan tr)=11+t^2,
dydt=ddtlnl(1+t^2r)=11+t^2cdot 2t=2t1+t^2

Passo 3

Primeira derivada dydx \r
Pela regra da cadeia para variáveis paramétricas,\r
dydx=dydtdxdt=2t1+t^211+t^2=2t

Passo 4

Segunda derivada d^2ydx^2 \r
Derivamos dydx=2t em relação a x usando\r
d^2ydx^2=ddx(2t)=ddt(2t)dxdt=211+t^2=2l(1+t^2r)

Resposta

dydx=2t \r
d^2ydx^2=2l(1+t^2r) (ou, em termos de x, como t=tan x, \r
d^2ydx^2=2sec^2x).

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