Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
lx=a cos ^3 t y=a sin ^3 t

Passo 1

Temos as funções paramétricas
x(t)=acos^3t, y(t)=asin^3t
e queremos as derivadas de segunda ordem em relação ao parâmetro t. Para isso, vamos primeiro achar as derivadas primeiras x'(t) e y'(t) usando regra da cadeia e produto, e em seguida derivar novamente para obter x''(t) e y''(t).

Passo 2

Calcular x'(t)=dfracddt[,acos^3t,] e y'(t)=dfracddt[,asin^3t,].
Usando dfracddt[cos^3t]=3cos^2tcdot(-sin t) e dfracddt[sin^3t]=3sin^2tcdotcos t, temos
x'(t)=acdot3cos^2t;(-sin t)=-3acos^2t,sin t,
y'(t)=acdot3sin^2t;cos t=3asin^2t,cos t

Passo 3

Agora derivamos x'(t) para obter x''(t).
x'(t)=-3acos^2t,sin t
Aplicando produto e cadeia:
x''(t)=-3addt[cos^2t,sin t] =-3al(2cos t(-sin t)cdotsin t+cos^2tcdotcos tr)
Isso dá
x''(t)=-3al(-2cos tsin^2t+cos^3tr) =3al(underbrace2cos tsin^2t-2cos^3t+2cos t-cos^3tr) =3al(2cos t-3cos^3tr)

Passo 4

De modo análogo, derivamos y'(t)=3asin^2t,cos t:
y''(t)=3addt[sin^2t,cos t] =3al(2sin tcos tcdotcos t+sin^2tcdot(-sin t)r) =3al(2sin tcos^2t-sin^3tr)
Fatorando,
y''(t)=3asin tl(2cos^2t-sin^2tr) =3asin tl(2-3sin^2tr)

Resposta

x''(t)=3al(2cos t-3cos^3tr), y''(t)=3a,sin tl(2-3sin^2tr)

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