Demonstrar que a função y=x^2+2 x+22 satisfaz a equação diferencial 1+y^prime 2=2 y y^prime prime.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y = x^2 + 2x + 22
satisfaz a equação diferencial
1 + (y')^2 ;=; 2,y,y''
O conteúdo aqui é apenas cálculo de derivadas e substituição na EDO para confirmar a igualdade.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'. Como
y = tfrac12 x^2 + x + 1,
temos
y' = ddxl(tfrac12 x^2 + x + 1r) = x + 1

Passo 3

Calcular a segunda derivada y''. Derivando y' = x+1
y'' = ddx(x+1) = 1

Passo 4

Avaliar o lado esquerdo da EDO, isto é
1 + (y')^2 = 1 + (x+1)^2 = 1 + l(x^2 + 2x +1r) = x^2 + 2x + 2

Passo 5

Avaliar o lado direito da EDO, isto é
2,y,y'' = 2 cdot x^2 + 2x + 22 cdot 1 = x^2 + 2x + 2

Passo 6

Comparando os dois lados encontramos
1 + (y')^2 = x^2 + 2x + 2 e 2,y,y'' = x^2 + 2x + 2,
logo a igualdade exigida está satisfeita.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial, pois ambos os lados coincidem em x^2+2x+2.

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