Achar y^prime prime no ponto (1,1), se
x^2+5 x y+y^2-2 x+y-6=0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^2 + 5xy + y^2 - 2x + y - 6 = 0
e pede a segunda derivada y'' no ponto (1,1). Vamos usar diferenciação implícita duas vezes e, depois, avaliar em (1,1).

Passo 2

Diferenciando implícito em relação a x, temos
ddxl(x^2r) + ddxl(5xyr) + ddxl(y^2r) - ddxl(2xr) + ddxl(yr) - ddx(6) = 0
Isso gera
2x + l(5y + 5x,y'r) + 2y,y' - 2 + y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos em y' e isolando,
(5x + 2y + 1),y' + l(2x + 5y - 2r) = 0,
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y' = -2x + 5y - 25x + 2y + 1

Passo 4

No ponto (1,1) temos
y'(1,1) = -2cdot1 + 5cdot1 - 25cdot1 + 2cdot1 + 1 = -2 + 5 - 25 + 2 + 1 = -58

Passo 5

Para obter y'', escrevemos y' = dfracND com
N = -l(2x + 5y - 2r), D = 5x + 2y + 1,
e aplicamos a regra do quociente:
y'' = N',D - N,D'D^2,
onde
N' = dNdx = -2 - 5,y', D' = dDdx = 5 + 2,y'

Passo 6

Substituindo x=1, y=1 e y'=-5/8:
N' = -2 - 5l(-tfrac58r) = -2 + tfrac258 = tfrac98, D = 8,
N = -l(2 + 5 - 2r) = -5, D' = 5 + 2l(-tfrac58r) = tfrac154
Assim,
y''(1,1) = !tfrac98cdot 8 ;-;(-5)cdot tfrac154!8^2 = 9 + tfrac75464 = tfrac111464 = 111256

Resposta

y''(1,1) = 111256

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