Achar a distância entre r1 e r2 nos casos:
20. r1: x=2-t
y=3+t Z=1-2 t
r2: x=t
y=-1-3 t
z=2 t

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r1 e r2 no espaço. Esse cálculo envolve conceitos de geometria analítica em R^3: vetores direção, produto vetorial e a fórmula da distância entre retas reversas (não paralelas nem coincidentes).

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e extraímos seus vetores direção.
Para r1colon x=2-t,;y=3+t,;z=1-2t tomamos o ponto A=(2,3,1) (quando t=0) e o vetor direção
v1=(-1,,1,,-2)
Para r2colon x=s,;y=-1-3s,;z=2s tomamos o ponto B=(0,-1,0) (quando s=0) e o vetor direção
v2=(1,,-3,,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v1timesv2, que é perpendicular a ambas as direções:
v1timesv2 = i&j&k -1&1&-2 1&-3&2 =(-4,,0,,2)
O módulo desse vetor é
l|v1timesv2r| =raiz(-4)^2+0^2+2^2 =raiz20 =2raiz5

Passo 4

Formamos o vetor que liga A a B:
AB=B-A=(0-2,,-1-3,,0-1)=(-2,,-4,,-1)
Em seguida calculamos o produto escalar com o vetor do passo anterior:
ABcdot(v1timesv2) =(-2)(-4)+(-4)cdot0+(-1)cdot2 =8-2 =6
O valor absoluto desse escalar é l|ABcdot(v1timesv2)r|=6.

Passo 5

A fórmula da distância d entre retas reversas é
d=l|ABcdot(v1timesv2)r|l|v1timesv2r| =62raiz5 =3raiz5 =3raiz55

Resposta

A distância entre r1 e r2 é
3raiz55

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