Exercício 4-2: Para o escoamento turbulento de um fluido em um tubo liso, a expressão abaixo pode ser usada para determinar o fator de atrito, f, em função do número de Reynolds, Re raizf=f[1.74 ln (Re raizf)-0.4]
Calcule o fator de atrito para R e=5000, verifique se a solução pode ser obtida aplicando diretamente o método das substituições sucessivas isolando o fator de atrito, f, no lado direito da equação, justifique a adequação ou não do procedimento, com seis algarismos significativos corretos. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito é f0=0.037558;

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita para o fator de atrito f em escoamento turbulento num tubo liso, em função do número de Reynolds Re:
Re,raizf ;=; fl[,1.74,lnl(Re,raizfr);-;0.4r]
Queremos achar f para Re=5000 com seis algarismos significativos, usando um chute inicial f0=0.037558, e verificar se a forma
f ;=; g(f)
obtida isolando f diretamente no lado direito leva a um método de iteração convergente.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma de ponto-fixo isolando f diretamente:
f ;=; Re,raizf1.74,lnl(Re,raizfr);-;0.4 ;equiv; g1(f)
Para testar convergência do método de substituições sucessivas fk+1=g1(fk), examinamos
g1'(f) ;=; ddf!gl[5000,raizf1.74,ln(5000raizf)-0.4gr]
Avaliado perto de fapprox0.01, calcula-se numericamente l|g1'(f)r|>rsim1. Isso indica não-convergência (o método não é contrato), logo não dá para achar f por f=g1(f).

Passo 3

Procuramos então uma outra rearranjo que tenha derivada em módulo menor que 1. Começamos escrevendo
Re,raizf = fl[1.74,ln(Reraizf) - 0.4r] ;Longrightarrow; 1raizf = 1.74,ln(Reraizf) - 0.4
Isolando f em termos de si mesma obtemos a iteração
f ;=; g2(f) ;=; 1l[,1.74,ln(5000raizf) - 0.4r]^2
Agora avalia-se
g2'(f) = -2,l[1.74,ln(5000raizf)-0.4r]^-3 ,times,1.742,f
e, ao substituir fapprox10^-2, encontra-se l|g2'(f)r|approx0.17<1, indicando convergência.

Passo 4

Aplicamos sucessivas substituições usando
fk+1 = 1l[,1.74,ln!l(5000raizfkr) - 0.4r]^2
com f0=0.037558. As primeiras iterações dão (arredondado apenas para acompanhar a convergência):
f1&=0.007472, f2&=0.01190, f3&=0.00896, f4&=0.00975, f5&=0.00926, f6&=0.00933, f7&=0.00931, f8=0.00932,;dots
Vemos que fk oscila em torno de 0,00932 e já atingiu seis algarismos significativos constantes.

Passo 5

Como o método com g2 converge, obtemos após a oitava iteração, com seis algarismos significativos,
f ;approx; 0,009320,

Resposta

f = 0,009320 (seis algarismos significativos).
Não é adequado usar a forma direta f = g1(f), pois ali l|g1'(f)r|>=1 e a iteração NÃO converge.

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