Verifique se
é um espaço vetorial com as operações de adição
e de multiplicação por escalar
dadas por:
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Queremos ver se esses dados satisfazem os axiomas de espaço vetorial sobre
, em particular as propriedades de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo) e as de multiplicação por escalar (distributividade, associatividade e elemento neutro escalar).
Passo 2
Verificamos a comutatividade da adição: para vetores arbitrários
e
temos
enquanto
Em geral
, logo
Portanto a adição
não é comutativa, falhando um dos axiomas de espaço vetorial.
Passo 3
Como basta falhar um único axioma para que a estrutura não seja um espaço vetorial, concluímos imediatamente que
não é um espaço vetorial sobre
.