Verifique se V=(x, y) mid x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição oplus e de multiplicação por escalar odot dadas por:
(x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1, y1) ; alpha odot(x, y)=(alpha x, alpha y).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)mid x,yinR
com as operações
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (x1,y1), alphaodot(x,y) = (alpha x,alpha y)
Queremos ver se esses dados satisfazem os axiomas de espaço vetorial sobre R, em particular as propriedades de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo) e as de multiplicação por escalar (distributividade, associatividade e elemento neutro escalar).

Passo 2

Verificamos a comutatividade da adição: para vetores arbitrários (x1,y1) e (x2,y2) temos
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (x1,y1),
enquanto
(x2,y2)oplus(x1,y1) = (x2,y2)
Em geral (x1,y1)neq(x2,y2), logo
(x1,y1)oplus(x2,y2) neq (x2,y2)oplus(x1,y1)
Portanto a adição oplus não é comutativa, falhando um dos axiomas de espaço vetorial.

Passo 3

Como basta falhar um único axioma para que a estrutura não seja um espaço vetorial, concluímos imediatamente que (V,oplus,odot) não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

V com as operações dadas não é um espaço vetorial.

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