Achar a distância da origem à reta mathscrL de equação:
x-32=y-1-3=z+1-1

Passo 1

O enunciado pede a distância da origem ao conjunto de pontos da reta mathscrL em R^3 dada em forma simétrica. O conteúdo é “distância de um ponto a uma reta em R^3”. Para resolver isso, precisamos (1) achar um ponto P0 que pertença à reta, (2) extrair o vetor direção v da reta e (3) usar a fórmula
d=l|OP0timesvr||v|,
onde O=(0,0,0).

Passo 2

Escrevendo a reta em forma paramétrica, definimos o parâmetro t por
x-32=y-1-3=z+1-1=t
Logo
x=3+2t, y=1-3t, z=-1 -t
Dessa forma, um ponto particular da reta é
P0=(3,,1,,-1)
obtido para t=0, e o vetor direção é
v=(2,,-3,,-1)

Passo 3

Pela fórmula da distância, precisamos do vetor OP0=P0 e do produto vetorial P0timesv. Vamos calcular:

Passo 4

Calculando o produto vetorial por determinante,
P0timesv = i&j&k 3&1&-1 2&-3&-1 =(-4),i+1,j+(-11),k =(-4,,1,,-11)

Passo 5

Agora as normas:
l|P0timesvr| =raiz(-4)^2+1^2+(-11)^2 =raiz16+1+121 =raiz138,
|v| =raiz2^2+(-3)^2+(-1)^2 =raiz4+9+1 =raiz14
Substituindo na fórmula:
d =raiz138raiz14 =raiz13814 =raiz697

Resposta

raiz697

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