Achar a distância de (2,2,1) à reta mathscrL=(1,-1,2)+t(3,-4,5) ; t in R.

Passo 1

Resumindo, queremos a distância entre o ponto P=(2,2,1) e a reta mathscrL que passa por A=(1,-1,2) com vetor diretor v=(3,-4,5). Para isso usamos a fórmula
d = |APtimes v||v|,
onde AP=P-A.

Passo 2

Calcular o vetor AP:
AP = (2-1,;2-(-1),;1-2) = (1,3,-1)

Passo 3

Calcular o produto vetorial
vtimes AP = (3,-4,5)times(1,3,-1)
Usando a definição via determinante, obtemos
vtimes AP = l(-4cdot(-1)-5cdot3,;-l(3cdot(-1)-5cdot1r),;3cdot3-(-4)cdot1r) = (-11,;8,;13)

Passo 4

Calcular a norma de vtimes AP:
|vtimes AP| = raiz(-11)^2 + 8^2 + 13^2 = raiz121 + 64 + 169 = raiz354

Passo 5

Calcular a norma de v:
|v| = raiz3^2 + (-4)^2 + 5^2 = raiz9 + 16 + 25 = raiz50

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância,
d = raiz354raiz50 = raiz2cdot177raiz2cdot25 = raiz1775

Resposta

d = raiz1775

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