Considere o campo de vetores
F(x, y)=[y cos (x y)+2 x y1+x^2] i+[x cos (x y)+ln (1+x^2)+2] j
Calcule integralC F cdot d r, onde C é a curva parametrizada
r(t)=(cos t, t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá um campo de vetores F(x, y) e uma curva C parametrizada por r(t) = (cos t, t) para t entre 0 e pi2. O objetivo é calcular a integral de linha integralC F cdot d r. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo de vetores ao longo de uma curva. A fórmula geral para a integral de linha de F ao longo de C é:
integralC F cdot d r = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Aqui, r,'(t) é a derivada da parametrização da curva C.

Passo 3

Antes de partir para o cálculo direto, vamos verificar se o campo de vetores F(x, y) é conservativo. Se for, podemos encontrar um potencial escalar phi(x, y) tal que F = nabla phi, e a integral de linha dependerá apenas dos valores de phi nos pontos inicial e final da curva, facilitando muito o cálculo.
Para que F seja conservativo, suas componentes devem satisfazer a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
partial Fxpartial y = partial Fypartial x
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos as componentes de F:
Fx = y cos(x y) + 2 x y1 + x^2
Fy = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Fxpartial y = cos(x y) + y (-x sin(x y)) + 2 x1 + x^2 = cos(x y) - x y sin(x y) + 2 x1 + x^2
partial Fypartial x = cos(x y) + x (-y sin(x y)) + 2 x1 + x^2 = cos(x y) - x y sin(x y) + 2 x1 + x^2
Perceba que:
partial Fxpartial y = partial Fypartial x
Então, o campo F é conservativo.

Passo 5

Como F é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j
Vamos encontrar phi(x, y) integrando Fx em relação a x:
partial phipartial x = y cos(x y) + 2 x y1 + x^2
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = integral ( y cos(x y) + 2 x y1 + x^2 ) dx
A primeira parte, integral y cos(x y) dx, faz uma substituição simples: deixe u = x y, então du = y dx, resultando em:
integral y cos(x y) dx = sin(x y) + C1(y)
A segunda parte:
integral 2 x y1 + x^2 dx = y ln(1 + x^2) + C2(y)
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = sin(x y) + y ln(1 + x^2) + C(y)
Agora, para encontrar C(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a Fy:
partial phipartial y = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + C'(y) = Fy = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2
Comparando os termos, temos:
C'(y) = 2 Rightarrow C(y) = 2 y + C0
Assim, a função potencial completa é:
phi(x, y) = sin(x y) + y ln(1 + x^2) + 2 y + C0
Podemos ignorar a constante C0 para nossos fins.

Passo 6

Agora que temos a função potencial phi(x, y), a integral de linha pode ser calculada simplesmente subtraindo phi no ponto final pelo ponto inicial da curva C.
Primeiro, vamos identificar os pontos inicial e final de C.
A parametrização é r(t) = (cos t, t) para t entre 0 e pi2.
Então:
  • Ponto inicial ( t = 0): r(0) = (cos 0, 0) = (1, 0)
  • Ponto final ( t = pi2): r(pi2) = (cos(pi2), pi2) = (0, pi2)
Agora, calculamos phi nesses pontos.
Para r(0) = (1, 0):
phi(1, 0) = sin(1 cdot 0) + 0 cdot ln(1 + 1^2) + 2 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Para r(pi2) = (0, pi2):
phi(0, pi2) = sin(0 cdot pi2) + pi2 ln(1 + 0^2) + 2 cdot pi2 = 0 + pi2 cdot 0 + pi = pi

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale pi.

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