onde .
Mostre que é conservativo sem exibir uma função potencial para .
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
Queremos mostrar que é conservativo sem encontrar potencial, usando o critério de que num domínio simplesmente conectado basta ter .
Passo 2
Observamos que o domínio de é todo (pois para todo ), que é simplesmente conectado. Logo, basta verificar que
Passo 3
Calculemos partial P/partial y e partial Q/partial x:
partial Ppartial y =2xlnl(z^2+1r) +partialpartial yl(y e^xyr) =2xlnl(z^2+1r)+e^xy+xy,e^xy,
partial Qpartial x =2xlnl(z^2+1r) +partialpartial xl(x e^xyr) =2xlnl(z^2+1r)+e^xy+xy,e^xy
Assim,
partial Ppartial y =partial Qpartial x
Passo 4
Calculemos partial P/partial z e partial R/partial x:
partial Ppartial z =2xycdot2zz^2+1 =4xyzz^2+1,
partial Rpartial x =partialpartial x!l(2x^2yzz^2+1r) =4xyzz^2+1
Logo,
partial Ppartial z =partial Rpartial x
Passo 5
Calculemos partial Q/partial z e partial R/partial y:
partial Qpartial z =x^2cdot2zz^2+1 =2x^2zz^2+1,
partial Rpartial y =partialpartial y!l(2x^2yzz^2+1r) =2x^2zz^2+1
Assim,
partial Qpartial z =partial Rpartial y
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional se anulam, temos nablatimesvec F=vec0 em todo R^3. Nesse domínio simplesmente conectado, isso implica que vec F é conservativo.
Resposta
vec F é conservativo, pois nablatimesvec F=vec 0 em R^3.