Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
onde P(x, y, z)=2 x y ln (z^2+1)+y e^x y, Q(x, y, z)=x^2 ln (z^2+1)+x e^x y e R(x, y, z)=2 x^2 y zz^2+1+1.
Mostre que F é conservativo sem exibir uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=P,vec i+Q,vec j+R,vec k
com
P(x,y,z)=2xylnl(z^2+1r)+y e^xy, Q(x,y,z)=x^2lnl(z^2+1r)+x e^xy, R(x,y,z)=2x^2 y zz^2+1+1
Queremos mostrar que vec F é conservativo sem encontrar potencial, usando o critério de que num domínio simplesmente conectado basta ter nablatimesvec F=vec0.

Passo 2

Observamos que o domínio de vec F é todo R^3 (pois z^2+1>0 para todo z), que é simplesmente conectado. Logo, basta verificar que
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz P & Q & R =vec0

Passo 3

Calculemos partial P/partial y e partial Q/partial x:
partial Ppartial y =2xlnl(z^2+1r) +partialpartial yl(y e^xyr) =2xlnl(z^2+1r)+e^xy+xy,e^xy,
partial Qpartial x =2xlnl(z^2+1r) +partialpartial xl(x e^xyr) =2xlnl(z^2+1r)+e^xy+xy,e^xy
Assim,
partial Ppartial y =partial Qpartial x

Passo 4

Calculemos partial P/partial z e partial R/partial x:
partial Ppartial z =2xycdot2zz^2+1 =4xyzz^2+1,
partial Rpartial x =partialpartial x!l(2x^2yzz^2+1r) =4xyzz^2+1
Logo,
partial Ppartial z =partial Rpartial x

Passo 5

Calculemos partial Q/partial z e partial R/partial y:
partial Qpartial z =x^2cdot2zz^2+1 =2x^2zz^2+1,
partial Rpartial y =partialpartial y!l(2x^2yzz^2+1r) =2x^2zz^2+1
Assim,
partial Qpartial z =partial Rpartial y

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional se anulam, temos nablatimesvec F=vec0 em todo R^3. Nesse domínio simplesmente conectado, isso implica que vec F é conservativo.

Resposta

vec F é conservativo, pois nablatimesvec F=vec 0 em R^3.

Exercícios relacionados