Achar a distância entre o plano alpha: 3 x-5 y+z-18=0 e a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o plano alpha: 3x - 5y + z - 18 = 0 e a origem (0,0,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que calcula a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano da forma ax + by + cz + d = 0. A fórmula é:
D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular entre o ponto e o plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na equação do plano alpha. Comparando com ax + by + cz + d = 0, temos:
  • a = 3
  • b = -5
  • c = 1
  • d = -18
E o ponto da origem é (0, 0, 0), então:
  • x0 = 0
  • y0 = 0
  • z0 = 0

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
D = |3 cdot 0 + (-5) cdot 0 + 1 cdot 0 - 18|raiz3^2 + (-5)^2 + 1^2
Simplificando o numerador:
3 cdot 0 + (-5) cdot 0 + 1 cdot 0 - 18 = -18
Então:
D = |-18|raiz9 + 25 + 1 = 18raiz35

Resposta

A distância entre o plano alpha e a origem é dfrac18raiz35 unidades.

Exercícios relacionados