Descrever a posição da reta r1:l 3 x-2 z=0 2 x-2 z+10=0 . Apresentar a equação paramétrica.

Passo 1

O enunciado pede a descrição da posição da reta r1 definida como interseção dos planos
alpha:3x-2z=0
beta:2x-2z+10=0
O conteúdo é geometria analítica no espaço: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Vamos obter o vetor direção dessa reta pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos e encontrar um ponto particular resolvendo o sistema.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são
n1=(3,0,-2),
n2=(2,0,-2)

Passo 3

O vetor direção v da reta é perpendicular a ambos n1 e n2, dado por
v = n1times n2 = (3,0,-2)times(2,0,-2) = (0,2,0)
Isso já indica que a reta é paralela ao eixo y.

Passo 4

Para achar um ponto P=(x,y,z) na reta, basta resolver as duas equações impondo, por exemplo, y=0. Do sistema
3x-2z=0,
2x-2z+10=0
temos da primeira x=tfrac23z e da segunda x=z-5. Igualando
tfrac23z = z-5 ;Longrightarrow; z=15 ;Longrightarrow; x=10
Logo, um ponto particular é P=(10,0,15).

Passo 5

Como o vetor direção pode ser simplificado para
(0,1,0),
a equação vetorial da reta fica
r = (10,0,15) + t,(0,1,0),
e a equação paramétrica é
x=10, y=t, z=15, tinR
Daí vemos que x e z são constantes, logo a reta é um segmento vertical paralelo ao eixo y.

Resposta

x=10, y=t, z=15, tinR

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