Construir equações paramétricas de duas retas concorrentes, que passam pela origem e são paralelas ao plano alpha: 3 x-5 y+z-18=0.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para construir equações paramétricas de duas retas que passam pela origem e são paralelas ao plano alpha: 3x - 5y + z - 18 = 0. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como verificar a paralelismo entre uma reta e um plano e como formular equações paramétricas para retas que passam por um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a um plano. Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano alpha é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, para o nosso plano alpha: 3x - 5y + z - 18 = 0, o vetor normal n é n = (3, -5, 1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar vetores diretores d para as retas que queremos construir, de forma que d seja perpendicular a n. Isso significa que o produto escalar entre d e n deve ser zero:
d cdot n = 0 Rightarrow 3dx - 5dy + dz = 0
Precisamos encontrar dois vetores diferentes que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Vamos escolher valores para dx e dy e resolver para dz:
  1. Primeira reta:
    • Seja dx = 1 e dy = 0:
3(1) - 5(0) + dz = 0 Rightarrow 3 + dz = 0 Rightarrow dz = -3
Então, d1 = (1, 0, -3).
  1. Segunda reta:
    • Seja dx = 0 e dy = 1:
3(0) - 5(1) + dz = 0 Rightarrow -5 + dz = 0 Rightarrow dz = 5
Então, d2 = (0, 1, 5).

Passo 5

Com os vetores diretores encontrados, agora podemos escrever as equações paramétricas das retas que passam pela origem (0, 0, 0):
  1. Primeira reta:
x = d1x cdot t = 1 cdot t y = d1y cdot t = 0 cdot t z = d1z cdot t = -3 cdot t
Simplificando:
x = t y = 0 z = -3t
  1. Segunda reta:
x = d2x cdot t = 0 cdot t y = d2y cdot t = 1 cdot t z = d2z cdot t = 5 cdot t
Simplificando:
x = 0 y = t z = 5t

Resposta

As equações paramétricas das duas retas concorrentes que passam pela origem e são paralelas ao plano [\alpha) são:
  1. Primeira reta:
  1. Segunda reta:
onde (t] é o parâmetro real.

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