P é a projeção ortagonal de l
Mostre que : P* = P , ou seja , é uma transfarmação autaadjunta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeção ortogonal e transformação autoadjunta. Basicamente, a gente precisa mostrar que a projeção na reta é igual à sua própria adjunta . Para resolver isso, vamos lembrar o que é projeção ortogonal, adjunta e transformação autoadjunta, e depois aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção ortogonal na reta . A reta é definida por todos os pontos em que satisfazem . Geometricamente, isso é uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 graus com os eixos.
A projeção ortogonal de um vetor qualquer em nessa reta é o vetor mais próximo na reta ao vetor original. Para encontrarmos a matriz dessa projeção, precisamos de uma base para .
Como , podemos escolher um vetor na direção de , por exemplo, . A projeção ortogonal pode então ser representada pela matriz:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a adjunta de uma transformação linear. Para uma matriz P , a adjunta P^* é simplesmente a transposta dessa matriz conjugada. No caso de matrizes reais (como é o nosso caso), a adjunta é apenas a transposta.