P é a projeção ortagonal de l =(x1, x2) in R^2 / x1 + x2 = 0
Mostre que : P* = P , ou seja , é uma transfarmação autaadjunta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeção ortogonal e transformação autoadjunta. Basicamente, a gente precisa mostrar que a projeção P na reta l é igual à sua própria adjunta P^* . Para resolver isso, vamos lembrar o que é projeção ortogonal, adjunta e transformação autoadjunta, e depois aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção ortogonal P na reta l . A reta l é definida por todos os pontos (x1, x2) em R^2 que satisfazem x1 + x2 = 0 . Geometricamente, isso é uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 graus com os eixos.
A projeção ortogonal de um vetor qualquer em R^2 nessa reta l é o vetor mais próximo na reta l ao vetor original. Para encontrarmos a matriz dessa projeção, precisamos de uma base para l .
Como x1 + x2 = 0 , podemos escolher um vetor na direção de l , por exemplo, u = 1raiz2(1, -1) . A projeção ortogonal P pode então ser representada pela matriz:
P = u u^T = 12 1 -1 1 & -1 = 12 1 & -1 -1 & 1

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a adjunta de uma transformação linear. Para uma matriz P , a adjunta P^* é simplesmente a transposta dessa matriz conjugada. No caso de matrizes reais (como é o nosso caso), a adjunta é apenas a transposta.
Então, vamos calcular P^* :
P^* = P^T = ( 12 1 & -1 -1 & 1 )^T = 12 1 & -1 -1 & 1

Passo 4

Observamos que a matriz da projeção P é igual à sua transposta P^* :
P = 12 1 & -1 -1 & 1 = P^*
Isso significa que P = P^* .

Resposta

Então, mostramos que P^* = P , ou seja, a projeção ortogonal P na reta l é uma transformação autoadjunta.

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