Determine uma matriz
que diagonaliza
e calcule que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma matriz
P que diagonalize
e então calcular
P^-1AP .
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz simétrica, isto é, encontrar autovalores e autovetores deA e usar a relação
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz simétrica, isto é, encontrar autovalores e autovetores de
Passo 2
Vamos primeiro obter o polinômio característico
det(A - lambda I)=0 . Sem fazer todo o desenvolvimento, chega-se a
Logo, os autovalores são
Passo 3
Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para
lambda1=2 , resolvendo
(A-2I)x=0 obtém-se, por exemplo,
pois
Para
lambda2=3 , de
(A-3I)x=0 segue
com
A,v2=3,v2 .
Para
lambda3=6 , de
(A-6I)x=0 escolhemos
pois
A,v3=6,v3 .
Passo 4
Formamos
P cujas colunas são os autovetores
v1,v2,v3 na ordem dos autovalores
2,3,6 :
Por construção temos
Passo 5
Multiplicando à esquerda por
P^-1 dá