Determine uma matriz P que diagonaliza A e calcule que P^-1 A P.
A=(ccc3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3)

Passo 1

O enunciado pede para achar uma matriz P que diagonalize
A = 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3
e então calcular P^-1AP.
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz simétrica, isto é, encontrar autovalores e autovetores de A e usar a relação
A,v = lambda,v

Passo 2

Vamos primeiro obter o polinômio característico det(A - lambda I)=0. Sem fazer todo o desenvolvimento, chega-se a
det(A-lambda I) = -(lambda-2)(lambda-3)(lambda-6)
Logo, os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = 3, lambda3 = 6

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para lambda1=2, resolvendo (A-2I)x=0 obtém-se, por exemplo,
v1 = 10-1,
pois
A,v1 = 2,v1
Para lambda2=3, de (A-3I)x=0 segue
v2 = 111,
com A,v2=3,v2.
Para lambda3=6, de (A-6I)x=0 escolhemos
v3 = 1-21,
pois A,v3=6,v3.

Passo 4

Formamos P cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3 na ordem dos autovalores 2,3,6:
P = 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1
Por construção temos
A,P = P ,2&0&00&3&00&0&6

Passo 5

Multiplicando à esquerda por P^-1
P^-1A,P = 2&0&00&3&00&0&6

Resposta

P = 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 , P^-1A,P = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 6

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