Usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta, achar a altura do triângulo de vêrtices (-1,1,2),(-1,2,3) e (3,1,1) em relação ao primeiro vêrtice.

Passo 1

O enunciado pede a altura do triângulo cujos vértices são
A = (-1,1,2), B = (-1,2,3), C = (3,1,1)
em relação ao vértice A. Como estamos em R^3, vamos usar geometria analítica vetorial e a fórmula da distância de um ponto a uma reta: para uma reta que passa por B e C e o ponto A, a distância (que é a altura desejada) vale
h = l|,ABtimesACr|l|BCr|

Passo 2

Calculemos os vetores envolvidos:
AB = B - A = (0,1,1), AC = C - A = (4,0,-1), BC = C - B = (4,-1,-2)

Passo 3

Vamos obter o produto vetorial ABtimesAC. Usando a definição por determinante,
ABtimesAC = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 0 & -1 = (-1,,4,,-4)

Passo 4

Agora o módulo do produto vetorial é
l|ABtimesACr| = raiz(-1)^2 + 4^2 + (-4)^2 = raiz1 + 16 + 16 = raiz33
E o módulo de BC é
l|BCr| = raiz4^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21

Passo 5

Substituindo na fórmula da altura:
h = raiz33raiz21 = raiz3321 = raiz117

Resposta

raiz117

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