Verifique se os planos π_{1} e π_{2} se interceptam. Caso afirmativo, determine a interseção.
\begin{gathered}\nπ_{1}: 2 x-y+2 z-1=0 \\\ π_{2}: 4 x-2 y+4 z=0\n\end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb{R}^3:
\pi_{1}:2x - y + 2z - 1 = 0
\pi_{2}:4x - 2y + 4z = 0
Queremos verificar se eles se interceptam. Em geometria analítica, dois planos genéricos interceptam-se numa reta, a menos que sejam paralelos (ou coincidentes). Para isso basta comparar os vetores normais e, em caso de paralelismo, checar se são coincidentes.

Passo 2

Identificamos os vetores normais extraindo os coeficientes de x,y,z em cada equação:
n_{1}=(2,\,-1,\,2), \qquad n_{2}=(4,\,-2,\,4).

Passo 3

Verificamos se um normal é múltiplo escalar do outro. De fato
n_{2}=2\,(2,\,-1,\,2)=2\,n_{1},
logo os vetores normais são colineares e os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 4

Para distinguir paralelos de coincidentes, multiplicamos a equação de \pi_{1} por 2 e comparamos com \pi_{2}:
2\cdot(2x - y + 2z -1)=4x -2y +4z -2=0.
Mas \pi_{2} é 4x-2y+4z=0, que difere em -2. Isso mostra que não há como tornar as duas equações idênticas, ou seja, são planos paralelos distintos.

Resposta

Os planos são paralelos e não se interceptam, isto é,
\pi_{1}\cap\pi_{2}=\emptyset.

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