Dados a reta r e o plano \pi, determinar o valor de m para que a reta seja perpendicular ao plano nos casos:
(a) r:\left\{\begin{array}{l}x=-3+\lambda, \\\ y=-1+2 \lambda, \\\ z=4 \lambda\end{array}\right.\quad e \pi: m x-y-2 z-3=0.
(b) r:(x, y, z)=(1,2,0)+\lambda(2, m,-1) e \pi: 3 x+2 y+m z=0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a reta r seja perpendicular ao plano \pi. Lembrando que uma reta com vetor diretor \mathbf{v} é perpendicular a um plano de vetor normal \mathbf{n} se, e somente se, \mathbf{v} for paralelo a \mathbf{n}. Na prática, isso significa que existe um escalar \lambda tal que
\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{n}.

Passo 2

Caso (a):
A reta
r:\quad \begin{cases} x=-3+\lambda,\\\ y=-1+2\lambda,\\\ z=4\lambda \end{cases}
tem vetor diretor \mathbf{v}=(1,2,4).
O plano
\pi:\;m x - y - 2z - 3 = 0
tem vetor normal \mathbf{n}=(m,-1,-2).
Para \mathbf{v}\parallel\mathbf{n} existe \lambda tal que
(1,2,4)=\lambda\,(m,-1,-2).
Comparando componentes em razão:
\frac{1}{m} = \frac{2}{-1} = \frac{4}{-2}.
Como \tfrac{2}{-1}=\tfrac{4}{-2}=-2, segue
\frac{1}{m} = -2 \quad\Longrightarrow\quad m = -\frac{1}{2}.

Passo 3

Caso (b):
A reta
r:\;(x,y,z)=(1,2,0)+\lambda\,(2,m,-1)
tem vetor diretor \mathbf{v}=(2,m,-1).
O plano
\pi:\;3x+2y+mz=0
tem vetor normal \mathbf{n}=(3,2,m).
Impondo \mathbf{v}=\lambda\,\mathbf{n} obtemos o sistema
2=3\lambda,\quad m=2\lambda,\quad -1=m\lambda.
Da primeira equação \lambda=\tfrac{2}{3}, da segunda m=2\lambda=\tfrac{4}{3}, mas então a terceira daria
-1 = m\,\lambda = \frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{9},
o que é impossível. Logo não há valor de m que torne a reta perpendicular ao plano.

Resposta

(a) m=-\tfrac{1}{2}.
(b) Não existe valor de m.

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