(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) (x-1)^{2}+2(y-2)^{2}=0
( ) Hipérbole
b) (x-1)^{2}-2(y-2)^{2}=5
( ) Ponto
c) (x-1)^{2}-2(y-2)^{2}=0
( ) Retas concorrentes
d) (x-1)^{2}+2(y-2)^{2}=5
( ) Elipse

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica cada uma das equações representa. O conteúdo é a classificação de cônicas na forma canônica (x-h)^2 e (y-k)^2, verificando sinais, constantes e casos degenerados.

Passo 2

Analisando
(x-1)^{2} + 2(y-2)^{2} = 0
Note que soma de dois termos não negativos só pode ser zero se cada termo for zero. Logo x-1=0 e y-2=0 dão um único ponto. Portanto é um caso degenerado chamado ponto.

Passo 3

Analisando
(x-1)^{2} - 2(y-2)^{2} = 5
Aqui um termo vem com sinal positivo e outro com sinal negativo, e a constante é não nula. Isso caracteriza uma hipérbole.

Passo 4

Analisando
(x-1)^{2} - 2(y-2)^{2} = 0
Temos a diferença de quadrados igual a zero, que se fatorada em
(x-1 - \sqrt{2}(y-2))\,(x-1 + \sqrt{2}(y-2)) = 0
gera duas retas concorrentes. É o caso degenerado de retas concorrentes.

Passo 5

Analisando
(x-1)^{2} + 2(y-2)^{2} = 5
A soma de quadrados igual a uma constante positiva não nula é a forma padrão de uma elipse.

Resposta

a) Ponto
b) Hipérbole
c) Retas concorrentes
d) Elipse

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