(3,0) Considere o seguinte problema de valor inicial :
\frac{d y}{d x}=y-x^{2}+1, \quad y(0)=0,5
Deseja-se aproximar o valor de y(0,2) utilizando métodos numéricos com passo h=0,1.
(a) Aproxime o valor de y(0,2) usando o método de Euler com passo h=0,1.
(b) Aproxime o valor de y(0,2) usando o método de Runge-Kutta com o mesmo passo.
(c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores com a solução exata da equação diferencial.
Todos os itens tem a mesma pontuação.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=y - x^{2} + 1,\quad y(0)=0{,}5
e pede três coisas com passo h=0{,}1:
– (a) aproximar y(0{,}2) pelo método de Euler explícito, cujo esquema é
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}),
com f(x,y)=y-x^{2}+1;
– (b) aproximar y(0{,}2) pelo método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4), cujo esquema é
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{n},y_{n}),\\\ k_{2}&=f\bigl(x_{n}+h/2,\;y_{n}+h\,k_{1}/2\bigr),\\\ k_{3}&=f\bigl(x_{n}+h/2,\;y_{n}+h\,k_{2}/2\bigr),\\\ k_{4}&=f(x_{n}+h,\;y_{n}+h\,k_{3}),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\frac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr); \end{aligned}
– (c) comparar com a solução exata, que é da forma y=(x+1)^{2}+C\,e^{x}.

Passo 2

Aplicando o método de Euler em dois passos x_{0}=0\to0{,}1\to0{,}2:
para n=0:
f(x_{0},y_{0})=0{,}5-0^{2}+1=1{,}5,\quad y_{1}=0{,}5+0{,}1\cdot1{,}5=0{,}65.
para n=1 x_{1}=0{,}1, y_{1}=0{,}65:
f(x_{1},y_{1})=0{,}65-0{,}01+1=1{,}64,\quad y_{2}=0{,}65+0{,}1\cdot1{,}64=0{,}814.
Logo, pela Euler,
y(0{,}2)\approx0{,}814.

Passo 3

Aplicando RK4 em dois passos:
Para n=0:
\begin{aligned} k_{1}&=1{,}5,\\\ k_{2}&=f\bigl(0{,}05,\;0{,}5+0{,}05\cdot1{,}5\bigr) =1{,}5725,\\\ k_{3}&=f\bigl(0{,}05,\;0{,}5+0{,}05\cdot1{,}5725\bigr) =1{,}576125,\\\ k_{4}&=f\bigl(0{,}1,\;0{,}5+0{,}1\cdot1{,}576125\bigr) =1{,}6476125,\\\ y_{1}&=0{,}5+\frac{0{,}1}{6}(1{,}5+2\cdot1{,}5725+2\cdot1{,}576125+1{,}6476125) \approx0{,}6574144. \end{aligned}
Para n=1 x_{1}=0{,}1, y_{1}\approx0{,}6574144:
\begin{aligned} k_{1}&=1{,}6474144,\\\ k_{2}&=f\bigl(0{,}15,\;0{,}6574144+0{,}05\cdot1{,}6474144\bigr) =1{,}71728512,\\\ k_{3}&=f\bigl(0{,}15,\;0{,}6574144+0{,}05\cdot1{,}71728512\bigr) =1{,}720778656,\\\ k_{4}&=f\bigl(0{,}2,\;0{,}6574144+0{,}1\cdot1{,}720778656\bigr) =1{,}789492266,\\\ y_{2}&=0{,}6574144+\frac{0{,}1}{6}(1{,}6474144+2\cdot1{,}71728512+2\cdot1{,}720778656+1{,}789492266)\\\ &\approx0{,}8292983. \end{aligned}
Logo, pelo RK4,
y(0{,}2)\approx0{,}8292983.

Passo 4

Para achar a solução exata resolvemos
\frac{dy}{dx}-y=-x^{2}+1
com fator integrante e^{-x}. Integramos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) =e^{-x}(-x^{2}+1)
e obtemos
y=(x+1)^{2}+C\,e^{x}.
Como y(0)=0{,}5 1+C=0{,}5\Rightarrow C=-0{,}5. Então
y(x)=(x+1)^{2}-0{,}5\,e^{x},
e em x=0{,}2:
y(0{,}2)=1{,}2^{2}-0{,}5\,e^{0{,}2}\approx1{,}44-0{,}610701\approx0{,}829299.
Comparando: Euler deu 0{,}814 (erro \approx0{,}0153), RK4 deu 0{,}8292983 (erro \approx10^{-6}).

Resposta

(a) y(0{,}2)\approx0{,}814 pelo método de Euler.
(b) y(0{,}2)\approx0{,}8292983 pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem.
(c) Solução exata y(0{,}2)\approx0{,}829299; RK4 é muito mais preciso que Euler.

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