Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
a. cosh x=e^x+e^-x2;
b. senh x=e^x-e^-x2;
c. tanh x=senh xcosh x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar as funções hiperbólicas cosh x, sinh x e tanh x: determinar domínio, monotonicidade, assíntotas verticais e horizontais, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e, ao final, esboçar cada gráfico. Vamos usar derivadas de primeira ordem para monotonicidade e extrema, derivadas de segunda ordem para concavidade e inflexão, e limites para assíntotas.

Passo 2

Domínio de todas as funções: elas são definidas em todo R.

Passo 3

Para cosh x: calcular a derivada de primeira ordem e estudar sinal. Temos
(cosh x)' = sinh x
Note que sinh x<0 para x<0, sinh0=0 e sinh x>0 para x>0. Logo cosh x é decrescente em ( -infty,0), crescente em (0,infty), com mínimo absoluto em x=0 valendo cosh0=1. Não há máximos.

Passo 4

Verificar assíntotas de cosh x:
limxtopminftycosh x = infty,
Logo não há assíntotas horizontais nem verticais.

Passo 5

Para concavidade de cosh x, usar segunda derivada:
(cosh x)'' = (sinh x)' = cosh x > 0 forall x
Isso mostra que cosh x é côncava para cima em todo R. Não há ponto de inflexão.

Passo 6

Para sinh x: derivada primeira
(sinh x)' = cosh x > 0 forall x,
então sinh x é estritamente crescente em R, sem extremos. Limites:
limxtopminftysinh x = pminfty,
portanto sem assíntotas horizontais e sem verticais.

Passo 7

Segunda derivada de sinh x:
(sinh x)'' = (cosh x)' = sinh x
Logo concavidade para baixo em (-infty,0) (pois sinh x<0 ali) e para cima em (0,infty). Há ponto de inflexão em x=0.

Passo 8

Para tanh x: derivada primeira
Assim (tanh x)' = sech^2 x = 1cosh^2 x > 0 forall x é estritamente crescente em tanh x, sem extremos. Limites para assíntotas horizontais:
R
limxtoinftytanh x = 1,
Não há assíntotas verticais.

Passo 9

Segunda derivada de tanh x:
Como , o sinal de (tanh x)'' = l(sech^2 xr)' = -2sech^2 x,tanh x é oposto ao de sech^2 x>0. Logo concava para cima em (tanh x)'' e para baixo em tanh x, com inflexão em (-infty,0).

Passo 10

Esboço dos gráficos:
cosh x é par, mínimo 1 em 0, cresce exponencialmente para pminfty, sempre côncava para cima.
sinh x é ímpar, crescente passando pela origem, com crescimento exponencial nas duas caudas, muda concavidade em 0.
tanh x é ímpar, forma de S crescente, assíntotas horizontais y=pm1, muda concavidade em 0.

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