Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
a.
;
b.
;
c.
.
a.
b.
c.
Passo 1
O enunciado pede para analisar as funções hiperbólicas
,
e
: determinar domínio, monotonicidade, assíntotas verticais e horizontais, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e, ao final, esboçar cada gráfico. Vamos usar derivadas de primeira ordem para monotonicidade e extrema, derivadas de segunda ordem para concavidade e inflexão, e limites para assíntotas.
Passo 2
Domínio de todas as funções: elas são definidas em todo
.
Passo 3
Para
: calcular a derivada de primeira ordem e estudar sinal. Temos
Note que
para
,
e
para
. Logo
é decrescente em
, crescente em
, com mínimo absoluto em
valendo
. Não há máximos.
Passo 4
Verificar assíntotas de
:
Logo não há assíntotas horizontais nem verticais.
Passo 5
Para concavidade de
, usar segunda derivada:
Isso mostra que
é côncava para cima em todo
. Não há ponto de inflexão.
Passo 6
Para
: derivada primeira
então
é estritamente crescente em
, sem extremos. Limites:
portanto sem assíntotas horizontais e sem verticais.
Passo 7
Segunda derivada de
:
Logo concavidade para baixo em
(pois
ali) e para cima em
. Há ponto de inflexão em
.
Passo 8
Para
: derivada primeira
Assim
é estritamente crescente em
, sem extremos. Limites para assíntotas horizontais:
Não há assíntotas verticais.
Passo 9
Segunda derivada de
:
Como , o sinal de
é oposto ao de
. Logo concava para cima em
e para baixo em
, com inflexão em
.
Passo 10
Esboço dos gráficos:
– é par, mínimo
em
, cresce exponencialmente para
, sempre côncava para cima.
– é ímpar, crescente passando pela origem, com crescimento exponencial nas duas caudas, muda concavidade em
.
– é ímpar, forma de S crescente, assíntotas horizontais
, muda concavidade em
.
–
–
–