Considere um meio formado por duas camadas horizontais, sendo que a camada superior tem 2 Km de profundidade, e a camada superior, 1 Km de profundidade. Suponha que uma onda senoidal dobre a frequência e perca metade da amplitude ao cruzar as camadas. Se a onda senoidal na primeira camada é dada pela função
, em que
representa a profundidade em Km (contada a partir do topo da primeira camada),
- encontre a função
que representa a onda senoidal na segunda camada;
- escreva a função
definida por partes que representa a onda senoidal nas duas camadas;
- faça o gráfico da função
para
.
Passo 1
O enunciado fala de um meio com duas camadas horizontais: a primeira de 2
Km de profundidade e a segunda de 1
Km. Na primeira camada a onda é dada por , e ao passar para a segunda camada a frequência dobra e a amplitude fica pela metade.
Km de profundidade e a segunda de 1
Km. Na primeira camada a onda é dada por
Passo 2
Quando uma onda senoidal tem frequência dobrada, o coeficiente angular (número de ondas por km) dobra. Aqui em
esse coeficiente é
, então na segunda camada ele vira
. Além disso, a amplitude é multiplicada por
.
Passo 3
Para representar a segunda camada usando a profundidade global
, defino
(zerando o ponto de partida na interface). Assim a função na segunda camada é
Passo 4
Agora monto a função por partes juntando as duas expressões e os respectivos intervalos de profundidade:
Passo 5
Para o gráfico de
: na região
temos 4 ciclos completos de senóide com amplitude 1 e período 0,5
Km; na região aparecem 4 ciclos com amplitude 0,5 e período 0,25
Km.
Km; na região
Km.
Resposta
Função na segunda camada:
.
Função em todo o meio:
Gráfico: de 0 a 2 Km aparecem 4 oscilações de amplitude 1; de 2 a 3 Km aparecem 4 oscilações de amplitude 0,5 (com período halved).