Considere um meio formado por duas camadas horizontais, sendo que a camada superior tem 2 Km de profundidade, e a camada superior, 1 Km de profundidade. Suponha que uma onda senoidal dobre a frequência e perca metade da amplitude ao cruzar as camadas. Se a onda senoidal na primeira camada é dada pela função f1(z)=sen(4 pi z), em que z representa a profundidade em Km (contada a partir do topo da primeira camada),
  • encontre a função f2(z) que representa a onda senoidal na segunda camada;
  • escreva a função f(z) definida por partes que representa a onda senoidal nas duas camadas;
  • faça o gráfico da função f(z) para 0 <= z <= 3.

Passo 1

O enunciado fala de um meio com duas camadas horizontais: a primeira de 2
Km de profundidade e a segunda de 1
Km. Na primeira camada a onda é dada por , e ao passar para a segunda camada a frequência dobra e a amplitude fica pela metade.

Passo 2

Quando uma onda senoidal tem frequência dobrada, o coeficiente angular (número de ondas por km) dobra. Aqui em f1(z) esse coeficiente é 4pi, então na segunda camada ele vira 8pi. Além disso, a amplitude é multiplicada por tfrac12.

Passo 3

Para representar a segunda camada usando a profundidade global z, defino z'=z-2 (zerando o ponto de partida na interface). Assim a função na segunda camada é
f2(z)=12,sinl(8pi,(z-2)r)

Passo 4

Agora monto a função por partes juntando as duas expressões e os respectivos intervalos de profundidade:
f(z)= sin(4pi z),&0<= z<=2, tfrac12,sinl(8pi(z-2)r),&2< z<=3

Passo 5

Para o gráfico de 0<= z<=3: na região 0<= z<=2 temos 4 ciclos completos de senóide com amplitude 1 e período 0,5
Km; na região 2 aparecem 4 ciclos com amplitude 0,5 e período 0,25
Km.

Resposta

Função na segunda camada: f2(z)=tfrac12sinl(8pi(z-2)r).
Função em todo o meio:
f(z)= sin(4pi z),&0<= z<=2, tfrac12sinl(8pi(z-2)r),&2< z<=3
Gráfico: de 0 a 2 Km aparecem 4 oscilações de amplitude 1; de 2 a 3 Km aparecem 4 oscilações de amplitude 0,5 (com período halved).

Exercícios relacionados