1.1 Considere o seguinte intervalo:
I=(-infty,-raiz2) cup(raiz2,+infty)
(a) Descreva o complementar desse conjunto (ou seja, o espaço todo R menos esse intervalo). Denote por I^C esse conjunto.
(b) O intervalo I1=(-2,2) está contido em I^C ? Justifique.
© Descreva I1 cap I^C.
(d) Para cada intervalo ou união de intervalos nos itens anteriores, verifique se são limitados, abertos ou fechados.

Passo 1

O enunciado define o intervalo I = (-infty,-raiz2) cup (raiz2, +infty). Precisamos então determinar seu complementar I^C, verificar inclusão de I1 = (-2,2) em I^C, calcular I1cap I^C e classificar cada conjunto quanto a ser limitado, aberto ou fechado.

Passo 2

Para achar I^C, usamos De Morgan. O complemento de I em R é a intersecção dos complementos das suas duas partes:
I^C = Rsetminus I = [-raiz2,+infty) ;cap; (-infty,raiz2] = [-raiz2,raiz2]

Passo 3

Para checar se I1subset I^C, basta encontrar um ponto em I1 que não está em I^C. Por exemplo, 1.5in(-2,2), mas 1.5>raiz2approx1.414, então 1.5notin I^C. Logo, I1notsubset I^C.

Passo 4

Para calcular I1cap I^C, intersectamos (-2,2) com [-raiz2,raiz2]. Como [-raiz2,raiz2]subset(-2,2), obtemos
I1cap I^C = [-raiz2,raiz2]

Passo 5

Classificação dos conjuntos:
  • I = (-infty,-raiz2)cup(raiz2,+infty): não limitado, aberto e não fechado.
  • I^C = [-raiz2,raiz2]: limitado, fechado e não aberto.
  • I1 = (-2,2): limitado, aberto e não fechado.
  • I1cap I^C = [-raiz2,raiz2]: limitado, fechado e não aberto.

Resposta

a) I^C = [-raiz2,raiz2].
b) I1notsubset I^C (por exemplo, 1.5in I1 mas 1.5notin I^C).
c) I1cap I^C = [-raiz2,raiz2].
d) Propriedades:
  • I: não limitado, aberto, não fechado.
  • I^C: limitado, fechado, não aberto.
  • I1: limitado, aberto, não fechado.
  • I1cap I^C: limitado, fechado, não aberto.

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