Calcule
, onde C é a curva da interseção do plano
com o cone
. (
, Vinicius Mancini)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha ∮_C
, onde C é a interseção do plano z=2 com o cone z=√(x2+y2). Usaremos o Teorema de Stokes para converter essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de F.
Passo 2
Escolha da superfície S: tomamos S como o disco no plano z=2 limitado por C, dado por D = { (x,y,2) : x^2 + y^2 ≤ 4 }. A normal unitária orientada positivamente (CCW visto de cima) é
.
Passo 3
Cálculo do rotacional de F: para F = (P,Q,R) = (x^2 - y, 4z, x^2), usamos
. Assim obtemos
.
Passo 4
Aplicação do Teorema de Stokes:
, pois
. Logo a integral vale a área de D, ou seja
.