Calcule z=2, onde C é a curva da interseção do plano z=raizx^2+y^2 com o cone 4 pi m^2. ( , Vinicius Mancini)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha ∮_C (x^2 - y),dx + 4z,dy + x^2,dz, onde C é a interseção do plano z=2 com o cone z=√(x2+y2). Usaremos o Teorema de Stokes para converter essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de F.

Passo 2

Escolha da superfície S: tomamos S como o disco no plano z=2 limitado por C, dado por D = { (x,y,2) : x^2 + y^2 ≤ 4 }. A normal unitária orientada positivamente (CCW visto de cima) é n = k.

Passo 3

Cálculo do rotacional de F: para F = (P,Q,R) = (x^2 - y, 4z, x^2), usamos ∇×F = (Ry - Qz, Pz - Rx, Qx - Py). Assim obtemos ∇×F = (0 - 4, 0 - 2x, 0 - (-1)) = (-4, -2x, 1).

Passo 4

Aplicação do Teorema de Stokes: ∮C F·dr = ∬S (∇×F)·n ,dS = ∬D 1 ,dA, pois (∇×F)·k = 1. Logo a integral vale a área de D, ou seja π·2^2 = 4π.

Resposta

4pi

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