Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=arcsin(x^2-1): domínio, monotonicidade, assíntotas verticais e horizontais, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de funções compostas e derivadas de arcsin.

Passo 2

Para achar o domínio de f, lembramos que arcsin(u) exige -1<= u<=1. Aqui u=x^2-1, logo
-1<= x^2-1<=1
Isso dá sempre x^2>=0 no lado esquerdo (ok) e x^2<=2 no lado direito. Portanto
-raiz2<= x<=raiz2
Esse é o domínio de f.

Passo 3

Agora fazemos f'(x) por regra da cadeia. Temos
f'(x)=1raiz1-(x^2-1)^2cdot2x
Observe que
1-(x^2-1)^2=2x^2-x^4=x^2(2-x^2)
Logo, para xne0,
f'(x)=2xraizx^2(2-x^2)=2,sgn(x)raiz2-x^2
Dessa forma f'(x)<0 em (-raiz2,0) e f'(x)>0 em (0,raiz2).

Passo 4

Como f' muda de sinal de negativo para positivo em x=0, temos decrescimento em [-raiz2,0] e crescimento em [0,raiz2]. Calculamos os valores:
f(0)=arcsin(-1)=-tfracpi2, f(pmraiz2)=arcsin(1)=tfracpi2
Portanto existe um mínimo absoluto em (0,-tfracpi2) e máximos absolutos em (pmraiz2,tfracpi2).

Passo 5

Para concavidade, derivamos novamente. Se diferenciarmos a forma simplificada de f'(x), obtemos em cada ramo ( x>0 ou x<0) um f''(x) que é sempre positivo em (-raiz2,0) e em (0,raiz2). Logo f é côncava para cima em todo o domínio e não há ponto de inflexão (não há troca de sinal de f'').

Passo 6

Sobre assíntotas: o domínio é intervalo fechado e f é finita nos extremos, logo não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, desenhe o eixo x de -raiz2 a raiz2, o eixo y de -tfracpi2 a tfracpi2. A curva desce de ( -raiz2,tfracpi2) até (0,-tfracpi2)) e sobe simetricamente até (raiz2,tfracpi2), sendo sempre côncava para cima e com tangentes verticais nos extremos.

Passo 8

O gráfico é simétrico em relação a y-eixo, atinge o mínimo em x=0 e os máximos nos extremos do domínio.

Resposta

Domínio: [-raiz2,raiz2]. Monotonicidade: decrescente em [-raiz2,0], crescente em [0,raiz2]. Assíntotas: nenhuma vertical nem horizontal. Concavidade: côncava para cima em todo o domínio; sem pontos de inflexão. Extremos: mínimo absoluto em (0,-tfracpi2); máximos absolutos em (pmraiz2,tfracpi2).

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