Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
: domínio, monotonicidade, assíntotas verticais e horizontais, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de funções compostas e derivadas de
.
Passo 2
Para achar o domínio de
, lembramos que
exige
. Aqui
, logo
Isso dá sempre
no lado esquerdo (ok) e
no lado direito. Portanto
Esse é o domínio de
.
Passo 3
Agora fazemos
por regra da cadeia. Temos
Observe que
Logo, para
,
Dessa forma
em
e
em
.
Passo 4
Como
muda de sinal de negativo para positivo em
, temos decrescimento em
e crescimento em
. Calculamos os valores:
Portanto existe um mínimo absoluto em
e máximos absolutos em
.
Passo 5
Para concavidade, derivamos novamente. Se diferenciarmos a forma simplificada de
, obtemos em cada ramo (
ou
) um
que é sempre positivo em
e em
. Logo
é côncava para cima em todo o domínio e não há ponto de inflexão (não há troca de sinal de
).
Passo 6
Sobre assíntotas: o domínio é intervalo fechado e
é finita nos extremos, logo não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, desenhe o eixo
de
a
, o eixo
de
a
. A curva desce de
até
e sobe simetricamente até
, sendo sempre côncava para cima e com tangentes verticais nos extremos.
Passo 8
O gráfico é simétrico em relação a
-eixo, atinge o mínimo em
e os máximos nos extremos do domínio.
Resposta
Domínio:
. Monotonicidade: decrescente em
, crescente em
. Assíntotas: nenhuma vertical nem horizontal. Concavidade: côncava para cima em todo o domínio; sem pontos de inflexão. Extremos: mínimo absoluto em
; máximos absolutos em
.