;
Passo 1
A equação é
. O conteúdo aqui é soma de arctangentes e a fórmula de
. Vamos usar a definição de tangente de soma para transformar a equação em um polinômio.
Passo 2
Aplicando
nos dois lados e usando
:
[\tan(\arctan(2x)+\arctan(x)) = \frac{2x + x}{1 - 2x\cdot x} = \frac{3x}{1 - 2x^2}]
[\tan(\arctan(2x)+\arctan(x)) = \frac{2x + x}{1 - 2x\cdot x} = \frac{3x}{1 - 2x^2}]
Como
, igualamos:
[\frac{3x}{1 - 2x^2} = 1]
[\frac{3x}{1 - 2x^2} = 1]
Passo 3
Multiplicando em cruz para eliminar o denominador, obtemos:
[3x = 1 - 2x^2]
que leva ao polinômio:
[2x^2 + 3x - 1 = 0].
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}].
[3x = 1 - 2x^2]
que leva ao polinômio:
[2x^2 + 3x - 1 = 0].
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}].
Passo 4
Precisamos checar cada raiz no enunciado. Para
, temos
então não há ajuste de
na soma de arctans, e de fato
. Para
, surge um ajuste de
e a soma não dá
. Logo essa raiz é extraneous.
Passo 5
A única solução que satisfaz a equação original é
.