arctan (2 x)+arctan (x)=pi4;

Passo 1

A equação é arctan(2x)+arctan(x)=tfracpi4. O conteúdo aqui é soma de arctangentes e a fórmula de tan(A+B). Vamos usar a definição de tangente de soma para transformar a equação em um polinômio.

Passo 2

Aplicando tan nos dois lados e usando tan(A+B)=dfractan A+tan B1-tan Acdottan B:
[\tan(\arctan(2x)+\arctan(x)) = \frac{2x + x}{1 - 2x\cdot x} = \frac{3x}{1 - 2x^2}]
Como tan(tfracpi4)=1, igualamos:
[\frac{3x}{1 - 2x^2} = 1]

Passo 3

Multiplicando em cruz para eliminar o denominador, obtemos:
[3x = 1 - 2x^2]
que leva ao polinômio:
[2x^2 + 3x - 1 = 0].
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}].

Passo 4

Precisamos checar cada raiz no enunciado. Para x=-3+raiz174approx0,28, temos 2x^2<1 então não há ajuste de pi na soma de arctans, e de fato arctan(2x)+arctan(x)=tfracpi4. Para x=-3-raiz174approx-1,78, surge um ajuste de -pi e a soma não dá tfracpi4. Logo essa raiz é extraneous.

Passo 5

A única solução que satisfaz a equação original é x=-3+raiz174.

Resposta

x=-3+raiz174

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