Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
.

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar tudo sobre a função f(x)=arctanl(tfracx+1x-1r): domínio, monotonicidade, assíntotas, concavidade, pontos de inflexão, extremos e esboço do gráfico. O conteúdo envolve derivar arctan(u), trabalhar com quociente u=(x+1)/(x-1) e estudar sinais de f' e f''.

Passo 2

Vamos achar o domínio. A expressão tfracx+1x-1 existe sempre que o denominador x-1neq0. Então o domínio é Rsetminus1.

Passo 3

Para a monotonicidade, calculamos f'(x). Se u(x)=tfracx+1x-1, então
u'(x)=(x-1)-(x+1)(x-1)^2=-2(x-1)^2
E como
f'(x)=u'(x)1+u(x)^2=-2/(x-1)^21+l((x+1)/(x-1)r)^2=-1x^2+1<0
para todo x. Logo f é estritamente decrescente em cada trecho do domínio e não há pontos críticos para extremos.

Passo 4

As assíntotas vêm dos limites em xto1^pm e xtopminfty. Temos
limxto1^-f(x)=arctan(-infty)=-tfracpi2, limxto1^+f(x)=arctan(+infty)=+tfracpi2,
logo assíntota vertical x=1. E
limxtopminftyf(x)=arctan(1)=tfracpi4,
logo assíntota horizontal y=tfracpi4.

Passo 5

Para estudar a concavidade, achamos a segunda derivada. De f'(x)=-1/(x^2+1) vem
f''(x)=2x(x^2+1)^2
Como f''(x)<0 para x<0 e f''(x)>0 para x>0, a curva é côncava para baixo em (-infty,0) e côncava para cima em (0,1)cup(1,infty).

Passo 6

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e muda de sinal, isto é, em x=0. O valor é
f(0)=arctanl(tfrac1-1r)=arctan(-1)=-tfracpi4
Então o ponto de inflexão é (0,-tfracpi4).

Passo 7

Como f' nunca zera, não há extremos relativos ou absolutos: a função apenas decresce nos dois intervalos do domínio.

Passo 8

O esboço fica com dois ramos decrescentes separados pela reta vertical x=1. À esquerda, vai de perto de y=tfracpi4 em xto-infty até y=-tfracpi2 em xto1^-, mudando de côncavo para baixo pra côncavo pra cima em (0,-tfracpi4). À direita, desce de y=tfracpi2 em xto1^+ até y=tfracpi4 em xto+infty, sempre côncavo para cima.

Passo 9

No desenho aparecem as assíntotas vertical x=1 e horizontal y=tfracpi4, o ponto de inflexão (0,-tfracpi4) e a curva decrescente em cada ramo.

Resposta

Domínio: Rsetminus1.
Variação: estritamente decrescente em (-infty,1) e (1,infty), sem extremos.
Assíntotas: vertical x=1, horizontal y=tfracpi4.
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,0), côncava para cima em (0,1)cup(1,infty).
Ponto de inflexão: (0,-tfracpi4).
Esboço: dois ramos decrescentes, conectando os limites nas assíntotas, com inflexão em (0,-tfracpi4).

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