Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar tudo sobre a função
: domínio, monotonicidade, assíntotas, concavidade, pontos de inflexão, extremos e esboço do gráfico. O conteúdo envolve derivar
, trabalhar com quociente
e estudar sinais de
e
.
Passo 2
Vamos achar o domínio. A expressão
existe sempre que o denominador
. Então o domínio é
.
Passo 3
Para a monotonicidade, calculamos
. Se
, então
E como
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em cada trecho do domínio e não há pontos críticos para extremos.
Passo 4
As assíntotas vêm dos limites em
e
. Temos
logo assíntota vertical
. E
logo assíntota horizontal
.
Passo 5
Para estudar a concavidade, achamos a segunda derivada. De
vem
Como
para
e
para
, a curva é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Passo 6
Ponto de inflexão ocorre onde
e muda de sinal, isto é, em
. O valor é
Então o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Como
nunca zera, não há extremos relativos ou absolutos: a função apenas decresce nos dois intervalos do domínio.
Passo 8
O esboço fica com dois ramos decrescentes separados pela reta vertical
. À esquerda, vai de perto de
em
até
em
, mudando de côncavo para baixo pra côncavo pra cima em
. À direita, desce de
em
até
em
, sempre côncavo para cima.
Passo 9
No desenho aparecem as assíntotas vertical
e horizontal
, o ponto de inflexão
e a curva decrescente em cada ramo.
Resposta
Domínio:
.
Variação: estritamente decrescente em e
, sem extremos.
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Ponto de inflexão: .
Esboço: dois ramos decrescentes, conectando os limites nas assíntotas, com inflexão em .
Variação: estritamente decrescente em
Assíntotas: vertical
Concavidade: côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Esboço: dois ramos decrescentes, conectando os limites nas assíntotas, com inflexão em