Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), determinar as assíntotas verticais e horizontais (caso existam), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos (caso existam) e esboçar o gráfico das funções seguintes :
;

Passo 1

A função dada é f(x)=arccos(x^2−2x). Vamos analisar: domínio, monotonicidade, assíntotas, concavidade, pontos de inflexão, extremos e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, notamos que o argumento de arccos deve ficar entre −1 e 1. Então resolvemos −1≤x^2−2x≤1. A primeira desigualdade gera (x−1)^2≥0, que vale para todo x. A segunda gera x^2−2x−1≤0, cujas raízes são x=1±√2, e a parábola é côncava para cima. Logo o domínio é
D=[1-raiz2,,,1+raiz2]

Passo 3

Derivando: seja u=x^2−2x, então f’(x)=−u’/(\sqrt{1−u2})=−(2x−2)/\sqrt{1−(x2−2x)^2}. O sinal de f’ vem de −(x−1). Concluímos que f aumenta quando x<1 e decresce quando x>1 (dentro do domínio).

Passo 4

Os extremos aparecem em x=1 (onde f’=0) e nos extremos do domínio. Calculando:
f(1)=arccos(-1)=pi, f(1pmraiz2)=arccos(1)=0
Portanto há máximo absoluto f(1)=π e mínimos absolutos f(1±√2)=0.

Passo 5

Como f é contínua e limitada no domínio fechado, não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

Para a concavidade, calculamos f’’(x) e obtemos que o numerador é sempre negativo e o denominador positivo em todo o domínio. Logo f’’(x)<0, a curva é sempre côncava para baixo e não existem pontos de inflexão.

Passo 7

No gráfico, f parte de 0 em x=1−√2, sobe até π em x=1 e desce de volta a 0 em x=1+√2, sempre côncava para baixo.

Resposta

Domínio: [1−√2, 1+√2]; f cresce em [1−√2, 1], decresce em [1, 1+√2]; sem assíntotas; sempre côncava para baixo; sem pontos de inflexão; máximo absoluto f(1)=π; mínimos absolutos f(1±√2)=0.

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