arcsen(2 x)-arcsen(x raiz3)=arcsen(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação arcsin(2x)-arcsin(xraiz3)=arcsin(x). O tema é funções trigonométricas inversas e vamos precisar do domínio do arcsin, da identidade de seno da soma de arcosenos e de manipulação algébrica com radicais.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio das expressões dentro dos arcsin:
xin[-tfrac12,tfrac12]

A interseção desses intervalos é , que é o nosso domínio.

Passo 3

Definimos:
A-B=C
A equação original A=B+C pode ser reescrita como sin. Aplicamos nos dois lados usando

Passo 4

Substituindo cada termo:
2x=raiz3,x,raiz1-x^2+x,raiz1-3x^2
temos

Passo 5

Observamos que x=0 é solução trivial, pois
xneq0
Para x, dividimos por 2=raiz3,raiz1-x^2+raiz1-3x^2 :

Passo 6

Isolamos uma das raízes:
raiz1-3x^2=2-raiz3,raiz1-x^2,
elevamos ao quadrado, usamos 1-x^2 para substituir e obtemos
x^2=tfrac14
daque decorre x=pmtfrac12 e, no domínio, .

Passo 7

Verificamos no enunciado que x=pmtfrac12 satisfazem a equação e estão no domínio. Assim, as soluções são
x=-tfrac12,;0,;tfrac12

Resposta

xin-tfrac12,,0,,tfrac12

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