Seja
definida por :
a. Provar que existe
tal que :
b. Achar todos os valores possiveis de
.
a. Provar que existe
Passo 1
O enunciado define a função f por partes e pede pra provar que existe c em ]0,2[ tal que f(2)−f(0)=2f′© e depois encontrar todos esses c. Esse é um caso clássico de aplicação do Teorema de Rolle/Valor Médio, então vamos precisar verificar as hipóteses do Teorema no intervalo [0,2].
Passo 2
Primeiro garantimos que f é contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2). Em qualquer ponto diferente de 1 f é composição de polinômio ou de 1/x, logo diferenciável. Resta checar em x=1:
A continuidade em x=1 exige que o limite pela esquerda e pela direita coincidam com f(1).
Pela definição de f, para x<1 temos
A continuidade em x=1 exige que o limite pela esquerda e pela direita coincidam com f(1).
Pela definição de f, para x<1 temos
[ f(x)=\frac{3−x^2}{2} ]
logo o limite quando x→1− é
[ \lim_{x→1−}f(x)=\frac{3−1}{2}=1 ]
Para x≥1 temos
[ f(x)=\frac1x ]
e
[ \lim_{x→1+}f(x)=1 ]
Como ambos os limites valem 1 e f(1)=1/1=1, f é contínua em x=1.
As derivadas laterais em x=1 também coincidem:
As derivadas laterais em x=1 também coincidem:
Para x<1: f′(x)=−x ⇒ em x=1 dá −1
Para x>1: f′(x)=−1/x^2 ⇒ em x=1 dá −1
Para x>1: f′(x)=−1/x^2 ⇒ em x=1 dá −1
Logo f é diferenciável em x=1. Assim todas hipóteses do Teorema do Valor Médio valem.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio existe c∈(0,2) tal que
[ f′©=\frac{f(2)−f(0)}{2−0} ]
Passo 4
Agora calculamos f(2) e f(0):
Para x=2 (≥1):
[ f(2)=\frac1{2} ]
Para x=0 (<1):
[ f(0)=\frac{3−0}{2}=\frac32 ]
Logo
[ f(2)−f(0)=\frac1{2}−\frac32=−1 ]
Assim
[ f′©=\frac{−1}{2}=−\tfrac12 ]
Passo 5
Para achar todos os c que satisfazem f′©=−1/2, lembramos que f′(x) é dada por partes:
Se x<1: f′(x)=−x, então −x=−1/2 ⇒ x=1/2 (que está em (0,1))
Se x>1: f′(x)=−1/x^2, então −1/x^2=−1/2 ⇒ 1/x^2=1/2 ⇒ x^2=2 ⇒ x=√2 (tomamos a raiz positiva pois x>1, e √2≈1.414 está em (1,2))
Se x>1: f′(x)=−1/x^2, então −1/x^2=−1/2 ⇒ 1/x^2=1/2 ⇒ x^2=2 ⇒ x=√2 (tomamos a raiz positiva pois x>1, e √2≈1.414 está em (1,2))
Portanto os únicos c em (0,2) que satisfazem são c=1/2 e c=√2.
Resposta
c=\tfrac12 ou c=\sqrt{2}