a. Calcular a derivada da função f definida em R por [0, pi].
b. Provar que a equação tem pelo menos uma solução em .

Passo 1

Neste exercício vamos lidar com derivadas e o Teorema de Bolzano. Primeiro, temos a função f:RtoR definida por f(x)=(x^2+1)sen(x). Vamos usar a regra do produto para calcular f'(x). Depois, mostraremos que a equação (x^2+1)cos(x)+2xsen(x)=0 tem ao menos uma raiz em [0,pi] aplicando o Teorema de Bolzano.

Passo 2

Para encontrar f'(x), defina u(x)=x^2+1 e v(x)=sen(x). Suas derivadas são u'(x)=2x e v'(x)=cos(x). Pela regra do produto (uv)'=u'v+uv', temos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
f'(x)=2xcdotsen(x)+(x^2+1)cdotcos(x)

Passo 3

Agora, para mostrar que f'(x)=0 tem solução em [0,pi], avalie f' nos extremos:
f'(0)=2cdot0cdotsen(0)+(0^2+1)cdotcos(0)=1>0,
f'(pi)=2picdotsen(pi)+(pi^2+1)cdotcos(pi)=-(pi^2+1)<0

Passo 4

Como f' é função contínua e f'(0)>0, f'(pi)<0, pelo Teorema de Bolzano existe cin(0,pi) tal que f'(c)=0. Portanto a equação dada tem ao menos uma solução em [0,pi]

Resposta

a) f'(x)=2xcdotsen(x)+(x^2+1)cdotcos(x). b) Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma solução de (x^2+1)cos(x)+2xsen(x)=0 em [0,pi].

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