a. Calcular a derivada da função
definida em
por
.
b. Provar que a equação
tem pelo menos uma solução em
.
b. Provar que a equação
Passo 1
Neste exercício vamos lidar com derivadas e o Teorema de Bolzano. Primeiro, temos a função
definida por
. Vamos usar a regra do produto para calcular
. Depois, mostraremos que a equação
tem ao menos uma raiz em
aplicando o Teorema de Bolzano.
Passo 2
Para encontrar
, defina
e
. Suas derivadas são
e
. Pela regra do produto
, temos:
Passo 3
Agora, para mostrar que
tem solução em
, avalie
nos extremos:
Passo 4
Como
é função contínua e
,
, pelo Teorema de Bolzano existe
tal que
. Portanto a equação dada tem ao menos uma solução em
Resposta
a)
. b) Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma solução de
em
.