Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:
Passo 1
A função dada é
. Vamos trabalhar com análise de polinômio de terceiro grau: domínio, derivada para estudar monotonia e, por fim, esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio: como
é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é,
.
Passo 3
Cálculo da derivada: para estudar crescimento e decrescimento usamos a derivada. Temos
Passo 4
Fatoração da derivada e pontos críticos: colocamos em evidência
Assim, os zeros de
são
e
.
Passo 5
Estudo do sinal de
: examinamos cada intervalo determinado por
e
:
- Em
: escolha , , logo é crescente. - Em
: escolha , , logo é decrescente. - Em
: escolha , , logo é crescente.
Passo 6
Cálculo dos valores extremos:
Portanto, há máximo local em
e mínimo local em
.
Passo 7
Esboço do gráfico: desenhe uma curva de polinômio cúbico com comportamento
– quando
;
– cresce até , depois decresce até
, e cresce de novo para
;
marque também o ponto e trace suavemente a curva ligando esses pontos.
–
– cresce até
marque também o ponto
Resposta
Domínio:
.
Monotonia:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
.
Extremos:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
Gráfico: polinômio de grau 3, cresce para
, atinge máximo em
, desce até
, e cresce para
.