Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:

Passo 1

A função dada é f(x)=2x^3+9x^2-24x+2. Vamos trabalhar com análise de polinômio de terceiro grau: domínio, derivada para estudar monotonia e, por fim, esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio: como f(x) é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é, R.

Passo 3

Cálculo da derivada: para estudar crescimento e decrescimento usamos a derivada. Temos
f'(x)=ddxl(2x^3+9x^2-24x+2r)=6x^2+18x-24

Passo 4

Fatoração da derivada e pontos críticos: colocamos em evidência
f'(x)=6x^2+18x-24=6l(x^2+3x-4r)=6(x+4)(x-1)
Assim, os zeros de f' são x=-4 e x=1.

Passo 5

Estudo do sinal de f': examinamos cada intervalo determinado por -4 e 1:
  • Em ( -infty,-4 ): escolha x=-5, f'(-5)=6cdot(25-15-4)>0, logo f é crescente.
  • Em ( -4,1 ): escolha x=0, f'(0)=6cdot(-4)<0, logo f é decrescente.
  • Em (1,+infty): escolha x=2, f'(2)=6cdot(4+6-4)>0, logo f é crescente.

Passo 6

Cálculo dos valores extremos:
f(-4)=2(-4)^3+9(-4)^2-24(-4)+2=-128+144+96+2=114,
f(1)=2+9-24+2=-11
Portanto, há máximo local em (-4,114) e mínimo local em (1,-11).

Passo 7

Esboço do gráfico: desenhe uma curva de polinômio cúbico com comportamento
f(x)to-infty quando xto-infty;
– cresce até (-4,114), depois decresce até (1,-11), e cresce de novo para +infty;
marque também o ponto (0,2) e trace suavemente a curva ligando esses pontos.

Resposta

Domínio: R.
Monotonia:
  • Crescente em ( -infty,-4 ) e em (1,+infty).
  • Decrescente em ( -4,1 ).
Extremos:
  • Máximo local em (-4,114).
  • Mínimo local em (1,-11).
Gráfico: polinômio de grau 3, cresce para xto-infty, atinge máximo em -4,114), desce até (1,-11), e cresce para xto+infty.

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