Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:

Passo 1

A função dada é f(x)=x^{3}-12x-3. A tarefa é encontrar o domínio, estudar onde f cresce ou decresce (usando derivada) e esboçar o gráfico, que é uma cúbica com até dois pontos críticos.

Passo 2

O domínio de qualquer polinômio é todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raízes pares de índices pares. Logo, Domínio: R.

Passo 3

Para estudar variação precisamos da derivada. Calculando, temos:
f'(x)=ddxl(x^3-12x-3r)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)
Os pontos críticos surgem quando f’(x)=0, ou seja, x=-2 e x=2.

Passo 4

Organizando o sinal de f’(x)=3(x+2)(x-2):
  • Para x<-2, ambos fatores (x+2) e (x-2) são negativos e o produto é positivo. Então f cresce em (-infty,-2).
  • Para -2, (x+2)>0 e (x-2)<0, produto negativo: f decresce em (-2,2).
  • Para x>2, os dois fatores são positivos e f cresce em (2,infty).

Passo 5

Para identificar máximos e mínimos locais, avaliamos f nos pontos críticos:
f(-2)=(-2)^3-12(-2)-3=-8+24-3=13,
f(2)=2^3-12cdot2-3=8-24-3=-19
Portanto, em x=-2 temos um máximo local (-2,13) e em x=2 um mínimo local (2,-19).

Passo 6

Para esboçar o gráfico: é uma cúbica que:
  • Passa por (0,-3) (intercepto em y).
  • Tem máximo em (-2,13) e mínimo em (2,-19).
  • Cresce em (-infty,-2), decresce em (-2,2) e cresce em (2,infty).
    O formato geral é de uma cúbica que sobe à esquerda, desce no meio e sobe novamente à direita.

Resposta

Domínio: R.
Crescente em (-infty,-2) e em (2,infty), decrescente em (-2,2).
Máximo local em (-2,13) e mínimo local em (2,-19).
Gráfico: cúbica com intercepto em y em (0,-3), sobe à esquerda, desce entre -2 e 2 e sobe à direita.

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