Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:
Passo 1
A função dada é f(x)=x^{3}-12x-3. A tarefa é encontrar o domínio, estudar onde f cresce ou decresce (usando derivada) e esboçar o gráfico, que é uma cúbica com até dois pontos críticos.
Passo 2
O domínio de qualquer polinômio é todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raízes pares de índices pares. Logo, Domínio:
.
Passo 3
Para estudar variação precisamos da derivada. Calculando, temos:
Os pontos críticos surgem quando f’(x)=0, ou seja,
e
.
Passo 4
Organizando o sinal de f’(x)=3(x+2)(x-2):
- Para
, ambos fatores e são negativos e o produto é positivo. Então f cresce em . - Para
, e , produto negativo: f decresce em . - Para
, os dois fatores são positivos e f cresce em .
Passo 5
Para identificar máximos e mínimos locais, avaliamos f nos pontos críticos:
Portanto, em
temos um máximo local
e em
um mínimo local
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico: é uma cúbica que:
- Passa por
(intercepto em y). - Tem máximo em
e mínimo em . - Cresce em
, decresce em e cresce em .
O formato geral é de uma cúbica que sobe à esquerda, desce no meio e sobe novamente à direita.
Resposta
Domínio:
.
Crescente em e em
, decrescente em
.
Máximo local em e mínimo local em
.
Gráfico: cúbica com intercepto em y em , sobe à esquerda, desce entre
e
e sobe à direita.
Crescente em
Máximo local em
Gráfico: cúbica com intercepto em y em