Use a regra de L’Hôpital para calcular o limite desejado.
lim z raiz2+raiz2 i z^4+16z^2-2 raiz2 z+4

Passo 1

A gente quer calcular o limite
limzto z0z^4+16z^2-2raiz2,z+4com z0=raiz2+ iraiz2
O tema aqui é usar a regra de L’Hôpital para funções de variável complexa, ou seja, derivar numerador e denominador em relação a z.

Passo 2

Primeiro a gente checa se ao substituir z0=raiz2 + iraiz2 a fração fica em forma 0/0:
z0^2=(raiz2+iraiz2)^2=2(1+2i+i^2)=4i,
z0^4=(z0^2)^2=(4i)^2=-16,
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numerador: z0^4+16=-16+16=0,
e
denominador: z0^2-2raiz2,z0+4=4i-2raiz2(raiz2+iraiz2)+4=4i-(4+4i)+4=0
Então temos 0/0, tudo certo para L’Hôpital.

Passo 3

Agora derivamos numerador e denominador em relação a z:
ddz(z^4+16)=4z^3,
ddz(z^2-2raiz2,z+4)=2z-2raiz2

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital,
limzto z0z^4+16z^2-2raiz2,z+4 =limzto z04z^32z-2raiz2 =4z0^32(z0-raiz2) =2z0^3z0-raiz2
Como z0-raiz2=iraiz2, temos
lim=2z0^3iraiz2

Passo 5

Falta só calcular z0^3 e simplificar:
z0^3=(raiz2(1+i))^3=2raiz2(1+i)^3=2raiz2(-2+2i)=-4raiz2+4iraiz2,
então
2z0^3iraiz2=2-4raiz2+4iraiz2iraiz2 =24raiz2(-1+i)iraiz2 =2cdot(-iraiz2)cdot4raiz2(-1+i) =8+8i

Passo 6

Chegamos ao resultado final do limite, que é um número complexo simples.

Resposta

8 + 8i

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