Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:

Passo 1

Nesse exercício temos a função f(x)=1x+1. O conteúdo envolve definir domínio, calcular derivada para estudar monotonicidade, encontrar assíntotas e esboçar gráfico de uma hipérbole deslocada.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que o denominador não pode ser zero. Logo precisamos de
x+1neq0
que implica
xneq-1
Portanto o domínio é
(-infty,-1)cup(-1,+infty).

Passo 3

Agora vamos ao estudo de variação usando derivada. Primeiro calculamos
f'(x)=ddxl(1x+1r)=-1(x+1)^2

Passo 4

Como (x+1)^2>0 em todo o domínio, temos f'(x)<0 para todo xneq-1. Logo a função é decrescente em cada um dos intervalos do domínio.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, identificamos as assíntotas:
– Assíntota vertical em x=-1, pois o denominador some ali.
– Assíntota horizontal em y=0, já que
limxtopminftyf(x)=0
Também podemos usar pontos de apoio, por exemplo f(0)=1 e f(-2)=-1, para posicionar os ramos da hipérbole.
Juntando tudo, temos um ramo negativo para x<-1 que vai de 0^- (quando xto-infty) até -infty (quando xto-1^-), e um ramo positivo para x>-1 que vai de +infty (quando xto-1^+) até 0^+ (quando xto+infty).

Resposta

Domínio: (-infty,-1)cup(-1,infty). A função é estritamente decrescente em cada parte do domínio. Assíntotas: vertical em x=-1 e horizontal em y=0. O gráfico é uma hipérbole com os ramos descritos no passo anterior.

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