Use a regra de L’Hôpital para calcular o limite desejado.
lim z raiz2 i z z^3+5 z^2+2 z+10z^5+2 z^3

Passo 1

Enunciado: calcular o limite limzto raiz2 i z,z^3+5z^2+2z+10z^5+2z^3. O conteúdo envolve regra de L’Hôpital para indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos que no ponto z0=raiz2 i o numerador e o denominador se anulam: substituindo em z^3+5z^2+2z+10 e em z^5+2z^3 obtemos 0, caracterizando indeterminação 0/0.

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital, escrevemos o numerador completo como P(z)=z,(z^3+5z^2+2z+10) e o denominador como D(z)=z^5+2z^3, de modo que o limite será limzto z0 P(z)D(z) = P'(z0)D'(z0).

Passo 4

Calculamos as derivadas:
P'(z)=ddzl(z(z^3+5z^2+2z+10)r)=4z^3+15z^2+4z+10,
D'(z)=ddz(z^5+2z^3)=5z^4+6z^2

Passo 5

Avaliamos em z0=raiz2 i usando (raiz2 i)^2=-2 e (raiz2 i)^3=-2raiz2 i:
P'(raiz2 i)=-20-4raiz2 i,
D'(raiz2 i)=8

Passo 6

Dividindo, obtemos P'(raiz2 i)D'(raiz2 i)=-20-4raiz2 i8=-52-raiz22i

Resposta

-52-raiz22i

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