Use a regra de L’Hôpital para calcular o limite desejado.
lim z 1+i z^5+4 zz^2-2 z+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limzto1+iz^5+4zz^2-2z+2 usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções de variável complexa e aplicação de derivadas para resolver indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece ao substituir diretamente z=1+i. Se o numerador e o denominador forem ambos zero, teremos uma indeterminação e aí sim aplicamos L’Hôpital.
Para calcular (1+i)^5, usamos potências sucessivas: (1+i)^2=1+2i+i^2=2i, depois (1+i)^4=(2i)^2=-4 e então (1+i)^5=(1+i)^4(1+i)=-4(1+i)=-4-4i.
Agora, avaliamos o numerador em z=1+i: (1+i)^5+4(1+i)=(-4-4i)+(4+4i)=0. Em seguida, o denominador: (1+i)^2-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0.

Passo 3

Como o resultado é 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos calcular lim f/g = lim f'/g' quando temos indeterminação 0/0 e as derivadas existem.
Derivamos separadamente: se f(z)=z^5+4z, então f'(z)=5z^4+4. Se g(z)=z^2-2z+2, então g'(z)=2z-2.
Agora avaliamos em z=1+i: f'(1+i)=5(1+i)^4+4=5(-4)+4=-20+4=-16 e g'(1+i)=2(1+i)-2=2+2i-2=2i.

Passo 4

O limite buscado é então f'(1+i)g'(1+i)=-162i=-8cdot1i=8i, já que 1/i=-i.

Resposta

8i

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