Use a regra de L’Hôpital para calcular o limite desejado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções de variável complexa e aplicação de derivadas para resolver indeterminações do tipo 0/0.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece ao substituir diretamente
. Se o numerador e o denominador forem ambos zero, teremos uma indeterminação e aí sim aplicamos L’Hôpital.
Para calcular , usamos potências sucessivas:
, depois
e então
.
Agora, avaliamos o numerador em :
. Em seguida, o denominador:
.
Para calcular
Agora, avaliamos o numerador em
Passo 3
Como o resultado é
, aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos calcular
quando temos indeterminação 0/0 e as derivadas existem.
Derivamos separadamente: se , então
. Se
, então
.
Agora avaliamos em :
e
.
Derivamos separadamente: se
Agora avaliamos em
Passo 4
O limite buscado é então
, já que
.
Resposta
8i