Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:

Passo 1

Temos a função f(x)=x-4x+4. O conteúdo aqui é análise de função racional: vamos precisar achar domínio, assíntotas, derivada (para monotonicidade), limites (para comportamento nos extremos) e interceptos, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

O domínio é determinado pela condição de denominador não nulo: x+4neq0. Portanto
D(f)=(-infty,-4)cup(-4,infty)

Passo 3

As assíntotas aparecem onde a função explode (vertical) e onde ela se aproxima de uma reta ao infinito (horizontal).
Para a assíntota vertical basta ver x+4=0, ou seja
x=-4

Passo 4

Para a assíntota horizontal calculamos
limxtopminftyx-4x+4=limxtopminfty1-4/x1+4/x=1,
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y=1
é assíntota horizontal.

Passo 5

Agora vamos derivar para estudar monotonicidade. Usando a regra do quociente:
f'(x)=(1),(x+4)-(x-4),(1)(x+4)^2=x+4-x+4(x+4)^2=8(x+4)^2

Passo 6

Como (x+4)^2>0 para todo xneq-4, segue que f'(x)>0 em ambos os intervalos do domínio. Logo,
f é estritamente crescente em (-infty,-4) e em (-4,infty).

Passo 7

Para completar, determinamos interceptos e limites laterais:
O zero da função vem de x-4=0, ou seja x=4, ponto (4,0).
O intercepto em y é f(0)=-4/4=-1, ponto (0,-1).

Passo 8

Limites junto à assíntota vertical:
limxto-4^-f(x)=+infty,limxto-4^+f(x)=-infty

Passo 9

Esboço do gráfico: há um ramo para x<-4, que em xto-infty tende a y=1^+ e, ao se aproximar de x=-4^-, cresce sem limite. Para x>-4 o ramo sai de -infty em xto-4^+ e sobe, passando por (0,-1) e (4,0), aproximando-se de y=1^- quando xto+infty.
O esboço mostra duas hipérboles equiângulares deslocadas, com as assíntotas x=-4 e y=1.

Resposta

Domínio: (-infty,-4)cup(-4,infty).
A função é estritamente crescente em cada um dos intervalos do domínio (nenhum intervalo de decrescimento).
Assíntotas: vertical em x=-4 e horizontal em y=1.
Interceptos: (4,0) e (0,-1).
O gráfico consiste em dois ramos hiperbólicos, conforme descrito nos últimos passos.

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