Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é análise de função racional: vamos precisar achar domínio, assíntotas, derivada (para monotonicidade), limites (para comportamento nos extremos) e interceptos, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
O domínio é determinado pela condição de denominador não nulo:
. Portanto
Passo 3
As assíntotas aparecem onde a função explode (vertical) e onde ela se aproxima de uma reta ao infinito (horizontal).
Para a assíntota vertical basta ver , ou seja
Para a assíntota vertical basta ver
Passo 4
Para a assíntota horizontal calculamos
logo
é assíntota horizontal.
Passo 5
Agora vamos derivar para estudar monotonicidade. Usando a regra do quociente:
Passo 6
Como
para todo
, segue que
em ambos os intervalos do domínio. Logo,
é estritamente crescente em
e em
.
Passo 7
Para completar, determinamos interceptos e limites laterais:
O zero da função vem de , ou seja
, ponto
.
O intercepto em é
, ponto
.
O zero da função vem de
O intercepto em
Passo 8
Limites junto à assíntota vertical:
Passo 9
Esboço do gráfico: há um ramo para
, que em
tende a
e, ao se aproximar de
, cresce sem limite. Para
o ramo sai de
em
e sobe, passando por
e
, aproximando-se de
quando
.
O esboço mostra duas hipérboles equiângulares deslocadas, com as assíntotas e
.
O esboço mostra duas hipérboles equiângulares deslocadas, com as assíntotas
Resposta
Domínio:
.
A função é estritamente crescente em cada um dos intervalos do domínio (nenhum intervalo de decrescimento).
Assíntotas: vertical em e horizontal em
.
Interceptos: e
.
O gráfico consiste em dois ramos hiperbólicos, conforme descrito nos últimos passos.
A função é estritamente crescente em cada um dos intervalos do domínio (nenhum intervalo de decrescimento).
Assíntotas: vertical em
Interceptos:
O gráfico consiste em dois ramos hiperbólicos, conforme descrito nos últimos passos.