Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o domínio, estudar onde a função cresce e decresce e, por fim, esboçar o gráfico de f(x)=x√(4−x²). Vamos usar teoria de radicais, regra do produto e derivada pra isso.

Passo 2

Pra achar o domínio, lembramos que o radicando deve ser não-negativo: 4−x² ≥ 0. Resolvendo isso, obtemos −2 ≤ x ≤ 2. Logo, Dom(f) = [−2, 2].

Passo 3

Para estudar monotonicidade, precisamos da derivada. Aplicando a regra do produto em f(x)=x·(4−x²)^{1/2} e a regra da cadeia:
f'(x)=raiz4−x²+x·12(4−x²)^−1/2(−2x)=4−x²−x²raiz4−x²=4−2x²raiz4−x²²²²²²²²
Os pontos críticos vêm de f’(x)=0 e dos extremos do domínio. Da equação 4−2x²=0 tiramos x=±√2. Os extremos são x=−2 e x=2.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f’(x). Como o denominador √(4−x²) é sempre ≥0 em (−2,2), basta olhar o numerador:
  • Para |x|<√2 temos 4−2x²>0 → f’(x)>0 (cresce).
  • Para √2<|x|<2 temos 4−2x²<0 → f’(x)<0 (decresce).

Passo 5

Calculamos valores em pontos-chave pra ajudar no esboço:
f(−2)=−2·0=0
f(−√2)=−√2·√(4−2)=−√2·√2=−2
f(0)=0·2=0
f(√2)=√2·√2=2
f(2)=2·0=0

Passo 6

Com esses dados, o gráfico em [−2,2] parte de (−2,0), decresce até (−√2,−2), cresce até (√2,2) e volta a decrescer até (2,0). Além disso a função é ímpar (f(−x)=−f(x)), então o esboço é simétrico em relação à origem.

Resposta

Domínio: [−2, 2]
Decrescente em (−2,−√2) e em (√2,2)
Crescente em (−√2,√2)
Esboço: passa pelos pontos (−2,0), (−√2,−2), (0,0), (√2,2), (2,0), com forma de “lóbulo” simétrico ímpar em torno da origem.

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