(a) Seja f(z)=z^2. Escreva as partes real e imaginária de f e de f^prime. O que você observa?
(b) Repita a parte (a) para f(z)=3 i z+2.
© Desenvolva uma conjectura a respeito da relação entre as partes real e imaginária de f e de f^prime.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos, para duas funções complexas dadas, escrever as partes real e imaginária de f(z) e de sua derivada f′(z). Vamos usar a representação z = x + i y e calcular f em termos de x e y e depois f′ usando diferenciação padrão em funções polinomiais e lineares de z.

Passo 2

Para f(z)=z², escrevemos z=x+iy. Então
f(z)=(x+iy)²=x²−y²+i,2xy ²²²
Logo as partes são u(x,y)=x²−y² e v(x,y)=2xy. A derivada é f′(z)=2z, e escrevendo em x,y:
f(z)=2(x+iy)=2x+i,2y
Portanto Re f′=2x e Im f′=2y. Observamos que ∂u/∂x=2x e ∂v/∂x=2y, isto é, Re f′=u_x e Im f′=v_x.

Passo 3

Para f(z)=3iz+2, escrevemos z=x+iy. Então
f(z)=3i(x+iy)+2=2−3y+i,3x
Logo u(x,y)=2−3y e v(x,y)=3x. A derivada é f′(z)=3i, ou seja
f(z)=0+i,3
Portanto Re f′=0 e Im f′=3. Vemos que ∂u/∂x=0 e ∂v/∂x=3, logo Re f′=u_x e Im f′=v_x.

Passo 4

Conjectura: se f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é diferenciável, então sua derivada satisfaz
f(z)= partial upartial x+ipartial vpartial x

Resposta

A derivada de uma função analítica f=u+iv satisfaz Re f′(z)=∂u/∂x e Im f′(z)=∂v/∂x, ou seja f′(z)=u_x+i v_x.

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