Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento) e esboçar o gráfico das funções seguintes:
llx4+1x+1 & se x>0 x^3+9 x^2+15 x+1 & se x <= 0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio, estudar onde f cresce e decresce e esboçar o gráfico da função definida por partes
f(x)= dfracx4+dfrac1x+1,&x>0, x^3+9x^2+15x+1,&x<=0
Vamos usar derivadas para monotonicidade e analisar continuidade nas fronteiras.

Passo 2

  1. Determinar o domínio
    – A parte para x>0 é f_1(x)=x/4+1/(x+1), a única restrição é x+1\neq0. Mas como x>0, x+1>1, não há problema.
    – A parte para x\le0 é um polinômio, definido para todo x\le0.
    Conclusão: o domínio de f é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

  1. Derivada para x>0 e monotonicidade desse ramo
    – f_1(x)=x/4+1/(x+1)
    – f_1’(x)=1/4 - 1/(x+1)^2
    Para ver o sinal de f_1’ resolvemos
1/4 - 1/(x+1)^2 >0implies (x+1)^2>4implies x+1>2, (x>1) ou x+1<-2,(impossível para x>0) í
Logo:
– em (0,1): f_1’<0, f decresce;
– em (1,\infty): f_1’>0, f cresce;
– em x=1: f_1’(1)=0 dá mínimo local em x=1.

Passo 4

  1. Derivada para x\le0 e monotonicidade desse ramo
    – f_2(x)=x3+9x2+15x+1
    – f_2’(x)=3x^2+18x+15=3(x+1)(x+5)
    Zeramos f_2’ em x=-5 e x=-1 e vemos o sinal:
    – x<-5: (x+5)<0 e (x+1)<0 ⇒ f_2’>0 (cresce);
    – -5<x<-1: (x+5)>0,(x+1)<0 ⇒ f_2’<0 (decresce);
    – -1<x\le0: (x+5)>0,(x+1)>0 ⇒ f_2’>0 (cresce);
    – em x=-5 e x=-1 temos extremos locais.

Passo 5

  1. Continuidade em x=0
    – f_2(0)=0+0+0+1=1
    limxto0^+f1(x)=0/4+1/(0+1)=1
    Logo f é contínua em 0. Não há salto.

Passo 6

  1. Resumo da monotonicidade e extremos
    – Cresce em (-\infty,-5), (-1,0] e (1,\infty).
    – Decresce em (-5,-1) e (0,1).
    – Extremo em x=-5: f(-5)=(-5)3+9(-5)2+15(-5)+1=26 (máximo local);
    – Extremo em x=-1: f(-1)= -1+9 -15+1=-6 (mínimo local);
    – Extremo em x=1: f(1)=1/4+1/2=3/4 (mínimo local neste ramo).

Passo 7

  1. Esboço do gráfico
    – Para x\le0: gráfico da cúbica, sobe de -\infty até (-5,26), desce até (-1,-6), sobe até (0,1).
    – Para x>0: parte racional, sai de f(0)=1, decresce até (1,3/4), depois cresce e se aproxima da reta assíntota y=x/4.

Passo 8

final_answer":“Domínio: R. Cresce em (-infty,-5), (-1,0] e (1,infty); decresce em (-5,-1) e (0,1). Máximo local em (-5,26); mínimos locais em (-1,-6) e (1,3/4). Gráfico: ramo cúbico para x\le0 conforme descrito, ramo racional para x>0 decrescendo até x=1 e depois ascendendo com assíntota y=x/4.”}

Passo 9

final_answer

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